经济数学1.5 极限运算教学幻灯片.ppt

1.5 极限运算法则 第一章 （Techniques for Finding Limits） 三、函数极限的四则运算法则 一、数列极限的四则运算 五、复合函数的极限运算法则 二、数列极限的性质 四、函数极限的性质 解: 原式 例2 （补充题） 二、收敛数列的性质 1. 收敛数列的极限唯一. (Uniqueness) 定理2(唯一性) 2. 收敛数列一定有界. (Roundedness) 定理3(有界性)　 即 若数列 收敛， 则其极限是唯一的． 即 若数列 收敛， 则 一定有界． 则称 一定有界． 例如, 数列 等都是有界的， 推论 无界数列必定发散． 说明: 定理3反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 数列 若 且 时, 有 定理4.收敛数列的保号性. (Sign-preserving Property) ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 三、函数极限的四则运算法则 定理5 若 （１） （２） （３） （４） 说明: 定理 2中的（1）、（2）可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 ( C 为常数 ) 推论 2 ( n 为正整数 ) ． 例4　 解 求 = = 例3 求 解: 对于有理整函数（多项式） 我们指出， 或有理分式函数 其中 都是多项式， 且 要求其当 时的极限， 只要把 代入函 中即可； 但对于有理分式函数， 如果代入 后，分母等 于零， 则没有意义， 不能通过直接代入的方法求极限． 事实上， 设多项式 则 又设有理分式函数 其中 都是多项式， 于是， 如果 则 如果 则不能直接用商的运算法则 ， 那就需要 特别考虑． 例4　求 ． 解　 于是不能 采取分子、分母分别取极限的方法． 将函数的分子有理化， 得 由于 所以 = 例5 解: 当 时， 括号内两式的分母均趋于0， 于是不能 直接应用四则运算法则来计算。 将函数变形得， 所以， 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 例6 求 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 例7 求 例8 解: 由例7相同的方法得， 而函数 与函数 互为倒数， 所以， 为非负常数 ) 一般有如下结果： 四、函数极限的性质 定理6 (函数极限的唯一性） 定理7 (函数极限的局部有界性) 若 且 A 0 , 则存在 ( A 0 ) 定理8 （函数极限的局部保号性） 五、复合函数的极限运算法则 定理9 设 且 x 满足 时, 又 则有 说明: 若定理中 则类似可得 例9　 求 解　 　作变量代换 则 时， 于是原式化为 解: 令 已知 例10 求 ∴ 原式 = （补充题） 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 （补充题） 例11 求 内容小结 1. 极限运算法则 (1) 数列和函数极限的四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2.数列极限的性质(唯一性,有界性,保号性) 3. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 课后练习 习 题 1-5 1 单数题 2单数题 4 5 思考与练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 问 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 2. 求 解 : 令 则 故 因此 3. 试确定常数 a 使 解: 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故 4. 设