概率论和数理统计(第五章第3节).pptVIP

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概率论和数理统计(第五章第3节)

第三节 中心极限定理 * * 中心极限定理是一系列描述相互独立的随机变量之和的极限分布 (依分布收敛)是正态分布的定理。 设随机变量序列 X1, X2, ··· , Xn, ··· ···相互独立, 且数学期望和方差都存在。取其前 n 项求和 X1+ X2+ ··· + Xn , 有 将随机变量 作标准化变换: 则有 E(Zn) = 0, D(Zn) = 1, n = 1, 2, ··· ··· 记 Zn的分布函数为 Fn(x) = P{ Zn≤x } 如果 称随机变量序列{ Xn }服从中心极限定理。 介绍最常用的两个中心极限定理。 对于服从中心极限定理的随机变量序 列 { Xn } , 当 n 足够大时, 近似服从 正态分布。 1. 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 X1, X2, ··· , Xn, ··· ··· 相互独立, 服从相同的分布, 且数学期望和方差都存在, 有 E(Xi) =μ, D(Xi) =σ2, i = 1, 2, ··· ··· 则随机变量序列{ Xn }服从中心极限定理。 即 等价地, 有 其中 由这个定理, 对于独立同分布随机变 量 X1, X2, ··· , Xn, 当n足够大时, 近似 服从 , 于是得到如下的近似 计算公式: ◆独立同分布随机变量之和的近似计 算公式 设随机变量 X1, X2, ··· , Xn独立同分布,则当 n 足够大时, 有 其中, μ= E(Xi), σ2 = D(Xi)。 例1. (习题五 第7题 P.181) 对敌人进行100 次炮击, 每次炮击时命中炮弹数的均值为 4, 方差为 2.25, 求: 在 100 次炮击中有 380 到 420 颗炮弹命中目标的概率。 解. 设 Xi 为第 i 次炮击命中的炮弹颗数, i = 1, 2, ··· ··· 则有 E(Xi) = 4, D(Xi) = 2.25; 所求概率为 由独立同分布中心极限定理, 有 例2. (参见《复习指南》P.86) 路边有一个售报亭, 每个过路人在报亭买报的概率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。 解. 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数, Xi 是售出第 i ?1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数, 则 并且随机变量 X1, X2, ··· , X100 独立同分布, 具有分布律: 以前曾计算过的结论: i = 1, 2, ··· , 100; 由独立同分布中心极限定理, 所求概率 2. 棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理 设 Yn ~ B(n, p), n = 1, 2, ··· ··· 则对任 意实数 x, 有 证明: 设 X1, X2, ··· , Xn, ··· ··· 是独立同分布的随机变量序列, 均服从 (0-1)两点分布, 则 Yn = X1+ X2+ ··· + Xn 服从 B(n, p); 而显然有(0-1)两点分布的数学期望和方差都存在。 由独立同分布的中心极限定理, 注意到 有 由这个定理, 当 n 足够大时, 二项分布B(n, p) 近似于正态分布 N(np, np(1?p)), 于是得到重要的近似计算公式: * * *

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