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高数第一篇章极限存在准则 两个重要极限.ppt
二、 两个重要极限
一、极限存在准则
第六节
极限存在准则
两个重要极限
第一章
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则
且
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
3. 准则2 单调有界数列必有极限 (单调有界原理 )
( 证明略 )
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
大
大
正
又
比较可知
根据准则 2 可知数列
记此极限为 e ,
e 为无理数 , 其值为
即
有极限 .
又
故极限存在,
例3
设
, 且
求
解:
设
则由递推公式有
∴数列单调递减有下界,
故
利用极限存在准则
圆扇形AOB的面积
二、 两个重要极限
证: 当
即
时,
显然有
△AOB 的面积<
<△AOD的面积
故有
重要极限1
当
时
注
例4. 求下列函数的极限
2 .
1.
解: 令
则
因此
原式
3.
4.
解: 令
则
因此
原式
主讲教师:
王升瑞
高等数学
第七讲
例5. 计算下列函数的极限
2.
3.
1.
证明:
证:
说明: 计算中注意利用
例6. 已知圆内接正 n 边形面积为
重要极限2.
证: 当
时, 设
则
当
则
从而有
故
说明: 此极限也可写为
时, 令
例7 已知
求 C。
解: 原式 =
例8 求下列极限
解: 令
则
说明 :若利用
则
原式
解
原式=
解: I =
解: 原式 =
3.
5、
解法一:
解法二:
6、
解: 原式 =
说明: 若
则有
解: 原式 =
7、
内容小结
1. 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
2. 两个重要极限
或
思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2. 已知
, 求
时,
下述作法是否正确? 说明理由.
设
由递推式两边取极限得
不对!
此处
思考与练习
填空题 ( 1~4 )
作业
P56 1 写在书上 ; 2; 3;4 .
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