与和平行四边形的判定有关的证明.ppt

数学 人教版八年级下册 课件目录 首 页 末 页 人 (教材P46例3) 如图1，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE ＝ CF.求证：四边形BFDE是平行四边形． 专题四 与平行四边形的判定有关的证明 图1 如图2，E，F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF. 求证：(1)△ABE≌△CDF； (2)∠1＝∠2. 证明： (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE. ∴∠AEB＝∠CFD. ∴△ABE≌△CDF(AAS)． 图2 (2)由△ABE≌△CDF得BE＝DF. ∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形． ∴∠1＝∠2. 已知：如图3，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE. (1)求证：△AFD≌△CEB； (2)四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由． 解：(1)∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC. 在△AFD和△CEB中， ∵DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE， ∴△AFD≌△CEB(SAS)． (2)四边形ABCD是平行四边形，理由如下： 由(1)知△AFD≌△CEB， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形． 图3 如图4，在?ABCD的对角线BD上取两点E，G，使BE＝DG.在对角线AC的延长线上取两点F，H，使AH＝CF.求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DG，AH＝CF， ∴OB－BE＝OD－DG，即OE＝OG， OA＋AH＝OC＋CF，即OH＝OF， ∴四边形EFGH是平行四边形． 图4 [2013·郴州]如图5，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.求证：四边形DEBF是平行四边形． 图5 证明： 因为BE∥DF，所以∠AFD＝∠CEB. 又因为∠ADF＝∠CBE，AF＝CE， 所以△ADF≌△CBE，所以DF＝BE. 又因为BE∥DF，BE＝DF，所以四边形DEBF是平行四边形． [2013·无锡]如图6，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题． (1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例； (2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果……，那么……”的形式) 图6 解：(1)是真命题． 证明如下：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO， 又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∴△ABO≌△CDO， ∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形． (2)假命题：①四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形； ②四边形ABCD中，AC交BD于O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形． 反例： 变形5答图 如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形； 如图②，四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形． (1)求证：四边形CEDF是平行四边形； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 图7 ∴DF＝CE且DF∥CE， ∴四边形CEDF为平行四边形． (2)过点D作DH⊥BE于H. 在?ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD. ∵∠B＝60°， ∴∠DCE＝∠B＝60°， ∴∠CDH＝30°. ∵AB＝4， ∴CD＝4， [2013·青海]如图8，已知?ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形． 图8 证明： 在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABD＝∠CDB. 又∵AM⊥BC，CN⊥AD， ∴∠AMB＝∠CND＝90°， ∴∠BAM＝90°－∠ABM＝90°－∠CDN＝∠DCN， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形． [2013·贺州]如图9，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC，(1)求证：CD＝AN；(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积． 图9 数学 人教版八年级下册 课件目录 首 页 末 页