garch模型跟运用简介.docVIP

PAGE PAGE 7 GARCH模型与应用简介 (2006, 5) 前言……………………………………………..2 GARCH模型………………………………………….7 模型的参数估计………………………………………16 模型检验………………………………………………27 4. 模型的应用……………………………………………32 实例……………………………….……………………42 某些新进展……………………….…………………...46 参考文献……………………………………………….50 0. 前言 (随机序列的条件均值与条件方差简介) 考察严平稳随机序列{yt}, 且E?yt??. 记其均值Eyt=?, 协方差函数?k=E{(yt-?)(yt+k-?)}. 其条件期望(或条件均值): E(yt?yt-1,yt-2,…)??(yt-1,yt-2,…), (0.1) 依条件期望的性质有 E?(yt-1,yt-2,…)=E{E(yt?yt-1,yt-2,…)}= Eyt =?. (0.2) 记误差(或残差): et ? yt -?(yt-1,yt-2,…). (0.3) 由(0.1)(0.2)式必有: Eet=Eyt-E?(yt-1,yt-2,…) =Eyt-Eyt=0, (0-均值性) (0.4) 及 Eet2=E[yt -?(yt-1,yt-2,…)]2 =E{(yt-?)-[?(yt-1,yt-2,…)-?]} =E(yt-?)2+E[?(yt-1,yt-2,…)-?]2 -2E(yt-?)[?(yt-1,yt-2,…)- =?0+Var{?(yt-1,yt-2,…)} -2EE{(yt-?)[?(yt-1,yt-2,…)-?]?yt-1,yt-2, ( 根据 Ex=E{E[x?yt-1,yt-2,…]} ) =?0+Var{?(yt-1,yt-2,…)} -2E{[?(yt-1,yt-2,…)-?]E[(yt-?)?yt-1,yt-2, ( 再用 E[x??( yt-1,yt-2,…)?yt-1,yt-2,…] =?( yt-1,yt-2,…) E[x?yt-1,yt-2,…]; 并取x= (yt-?), ?( yt-1,yt-2,…)=[?(yt-1,yt-2,…)-?]; 由(0.1)(0.2)可得 ) =?0+Var{?(yt-1,yt-2,…)}-2E[?(yt-1,yt-2,…)-?]2 =?0-Var{?(yt-1,yt-2,…)}. (0.5) 即有: ?0=Var(yt)=Var(?(yt-1,yt-2,…))+Var(et). (0.6) 此式表明, yt的方差(=?0)可表示为: 回归函数的方差(Var(?(yt-1,yt-2,…)), 与残差的方差(Var(et))之和. 下边讨论et的条件均值与条件方差. 为了符号简便, 以下记Ft-1={yt-1,yt-2,…}. 首先考虑et的条件均值: E(et?Ft-1)=E{yt-?( yt-1,yt-2,…) ? F =E(yt? Ft-1)- E{?( yt-1,yt-2,…) ? Ft-1} = ?( yt-1,yt-2,…)- ?( yt-1,yt-2,…) =0. (0.7) 再看条件方差: Var(et?Ft-1)=E{[et- E(et?Ft-1)]2? F = E{et2? F ?S2(yt-1,yt-2,…). (0.8) 此处S2(yt-1,yt-2,…)为条件方差函数. 注意, et的条件均值是零, 条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,…), 它不一定是常数! 依(0.3)式, 平稳随机序列{yt}总有如下表达式: yt = ?( yt-1,yt-2,…)+et, (0.9) 其中?(yt-1,yt-2,…)被称为自回归函数, 不一定是线性的. {et}可称为新息序列, 与线性模型的新息序列不同, 除非{yt}是正态序列. 顺便指出, 满足(0.4)式的{et}为鞅差序列, 因为对它的求和是离散的鞅序列. 由于{yt}是严平稳随机序列, 且E?yt??,上述推演是严格的, 从而{et}是严平稳的鞅差序列. 当{yt}有遍历性时, 它也是遍历的. 此处所涉及的抽象概念可不必深究. 现在将e