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garch模型跟运用简介
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GARCH模型与应用简介
(2006, 5)
前言……………………………………………..2
GARCH模型………………………………………….7
模型的参数估计………………………………………16
模型检验………………………………………………27
4. 模型的应用……………………………………………32
实例……………………………….……………………42
某些新进展……………………….…………………...46
参考文献……………………………………………….50
0. 前言 (随机序列的条件均值与条件方差简介)
考察严平稳随机序列{yt}, 且E?yt??. 记其均值Eyt=?,
协方差函数?k=E{(yt-?)(yt+k-?)}. 其条件期望(或条件均值):
E(yt?yt-1,yt-2,…)??(yt-1,yt-2,…), (0.1)
依条件期望的性质有
E?(yt-1,yt-2,…)=E{E(yt?yt-1,yt-2,…)}= Eyt =?. (0.2)
记误差(或残差):
et ? yt -?(yt-1,yt-2,…). (0.3)
由(0.1)(0.2)式必有:
Eet=Eyt-E?(yt-1,yt-2,…)
=Eyt-Eyt=0, (0-均值性) (0.4)
及
Eet2=E[yt -?(yt-1,yt-2,…)]2
=E{(yt-?)-[?(yt-1,yt-2,…)-?]}
=E(yt-?)2+E[?(yt-1,yt-2,…)-?]2
-2E(yt-?)[?(yt-1,yt-2,…)-
=?0+Var{?(yt-1,yt-2,…)}
-2EE{(yt-?)[?(yt-1,yt-2,…)-?]?yt-1,yt-2,
( 根据 Ex=E{E[x?yt-1,yt-2,…]} )
=?0+Var{?(yt-1,yt-2,…)}
-2E{[?(yt-1,yt-2,…)-?]E[(yt-?)?yt-1,yt-2,
( 再用 E[x??( yt-1,yt-2,…)?yt-1,yt-2,…]
=?( yt-1,yt-2,…) E[x?yt-1,yt-2,…];
并取x= (yt-?), ?( yt-1,yt-2,…)=[?(yt-1,yt-2,…)-?];
由(0.1)(0.2)可得 )
=?0+Var{?(yt-1,yt-2,…)}-2E[?(yt-1,yt-2,…)-?]2
=?0-Var{?(yt-1,yt-2,…)}. (0.5)
即有:
?0=Var(yt)=Var(?(yt-1,yt-2,…))+Var(et). (0.6)
此式表明, yt的方差(=?0)可表示为: 回归函数的方差(Var(?(yt-1,yt-2,…)), 与残差的方差(Var(et))之和.
下边讨论et的条件均值与条件方差.
为了符号简便, 以下记Ft-1={yt-1,yt-2,…}.
首先考虑et的条件均值:
E(et?Ft-1)=E{yt-?( yt-1,yt-2,…) ? F
=E(yt? Ft-1)- E{?( yt-1,yt-2,…) ? Ft-1}
= ?( yt-1,yt-2,…)- ?( yt-1,yt-2,…)
=0. (0.7)
再看条件方差:
Var(et?Ft-1)=E{[et- E(et?Ft-1)]2? F
= E{et2? F
?S2(yt-1,yt-2,…). (0.8)
此处S2(yt-1,yt-2,…)为条件方差函数. 注意, et的条件均值是零, 条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,…), 它不一定是常数!
依(0.3)式, 平稳随机序列{yt}总有如下表达式:
yt = ?( yt-1,yt-2,…)+et, (0.9)
其中?(yt-1,yt-2,…)被称为自回归函数, 不一定是线性的. {et}可称为新息序列, 与线性模型的新息序列不同, 除非{yt}是正态序列. 顺便指出, 满足(0.4)式的{et}为鞅差序列, 因为对它的求和是离散的鞅序列. 由于{yt}是严平稳随机序列, 且E?yt??,上述推演是严格的, 从而{et}是严平稳的鞅差序列. 当{yt}有遍历性时, 它也是遍历的. 此处所涉及的抽象概念可不必深究.
现在将e
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