圆与方程知识点总结及习题（答案）.doc

第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程，圆心，半径为r； 点与圆的位置关系： 当，点在圆外 当=，点在圆上 当，点在圆内 （2）一般方程 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；； （2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条； 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当时，两圆内含； 当时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 圆的方程 基础自测 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 （ ） A.a＜-2或a＞ B.-＜a＜0 C.-2＜a＜0 D.-2＜a＜ 答案D 2.（2009·河南新郑模拟）圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 答案A 3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 （ ） A.（x-3）2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.（x-1）2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 答案C 4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 （ ） A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9 答案C 5.（2009·宜昌模拟）直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r＞0)的圆心位于（ ）A.第一象限  B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案B 例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0  D.x2+y2-4x=0 答案D 例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径. 解 方法一 将x=3-2y, 代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0. 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2= ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. ∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=. 方法二 如图所示，设弦PQ中点为M， ∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程为:y-3=2, 即：y=2x+4.由方程组 解得M的坐标为（-1，2）. 则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2. ∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ