3-1仿射坐标变换一般理论.ppt

例 3.3 设 (a1, b1, c1) 与 (a2, b2, c2) 不成比例, 证明 在任意仿射坐标系 I 中, 形如 f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0 的方程的图像 S 是柱面. 分析: 若 S 在坐标系中 I? 的方程为 f (x?, y?) = 0, 则 S 为柱面, 于是问题转化为: 找到适当的坐标 变换使得 S 在新坐标系I?中的方程为f (x?, y?) = 0. 1.3 过渡矩阵的性质 证明: 由于 (a1, b1, c1) 与 (a2, b2, c2) 不成比例, 因此存在 a3, b3, c3 , 使得 是可逆矩阵. 设 1.3 过渡矩阵的性质 作仿射坐标系 I?: [O; e1?, e2?, e3?], 使得 e1?, e2?, e3? 在 I 中的坐标依次是 C ?1 的三个列向量. 于是I? 中方程为 f (x?, y?) = 0 的柱面在 I 中的方程为 f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0. 因此它就是 S . 则 I 到 I? 的过渡矩阵为 C ?1, 从而 I? 到 I 的过渡矩阵为C, 注意到 I 与 I? 有相同的原点, 因此I? 到 I 的 坐标变换公式为 1.3 过渡矩阵的性质 注: 平面坐标变换中过渡矩阵为二阶矩阵. 点的坐标变换公式为 (3.2b) 向量的坐标变换公式为 (3.1b) 1.3 过渡矩阵的性质 1.4 代数曲面和代数曲线 定义: 如果 F (x, y, z) 是 x, y, z 的一个多项式, 则称方程 F (x, y, z) = 0 的图像为代数曲面, 把 F (x, y, z) 的次数称为这 个代数曲面的次数. 注: 次数的概念并不是纯几何的, 代数曲面 的次数与方程有关. 例如方程 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0 与 x + y + z = 0 次数不同, 但表示同一平面. ? 代数曲面 (2) 代数曲面及其次数与坐标系的选择无关. 如果一张代数曲面在坐标系 I 中的方程为 F (x, y, z) = 0 , 当从坐标系 I 到坐标系 I? 作坐标变换 时, 多项式 F (x, y, z) 变为函数 G(x?, y?, z?) , 则 G(x?, y?, z?) 也是多项式, 且次数不会超过 F (x, y, z) ; 反过来从 I? 到 I 的坐标变换又把 G(x?, y?, z?) 变为函数 F (x, y, z), 从而 F (x, y, z) 的次数 又不会超过 G(x?, y?, z?), 于是 F (x, y, z) 与 G(x?, y?, z?) 是同次多项式. 1.4 代数曲面和代数曲线 问题: 空间中一个二次曲面和一张平面的交线 是什么曲线? 设 S 是空间中的一个二次曲面, 它在坐标系 I 中的方程为 F(x, y, z) = 0, ? 为平面. ? 代数曲线 定义: 如果在一个平面上 F (x, y) 是 x, y 的一个 多项式, 则称方程 F (x, y) = 0 的图像为代数曲线, 把 F (x, y) 的次数称为这 个代数曲线的次数. 以? 为x?O?y?平面, 做一个新的坐标系 I?, 设从 I 到 I? 的坐标变换把 F(x, y, z) 变为 G(x?, y?, z?) . 1.4 代数曲面和代数曲线 于是 S 与 ? 的交线在 I? 的坐标平面x?O?y? 上的 方程为 G(x?, y?, 0) = 0. 显然, 它是次数不超过 2 的代数曲线. 这样上述问题的结论为: 如果 S 与? 相交, 并且 交点不是一个点, 则交线是二次曲线或者直线. 则 S 在 I? 中的方程为G(x?, y?, z?) = 0, 而? 在 I? 中的方程为 z? = 0. 1.4 代数曲面和代数曲线 1.5 直角坐标变换 定义: 对 n 阶实矩阵 A, 若 A?1 = AT, 则称 A 为 正交矩阵. 性质: (4) A 是正交矩阵 ? A 的各行(列)元素的平方和 等于1, 不同两行(列)对应元素乘积之和为零. (3) 正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵仍是正交矩阵; ? 正交矩阵 (2) 两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵; (1) 若A 是正交矩阵, 则|A| = 1 或 |A| = ?1; 命题 3.2 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正 交矩阵. 证明: