高中数学射影定理.ppt

结束寄语 不经历风雨，怎么见彩虹, 没有人能随随便便成功! 原来学好数学，一点都不难！ C A D B 已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？ 3．CD =？ AC =？ BC =？ AD·DB AD·AB BD·BA 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 A D B C 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900 此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用. ∴ ΔACD∽ΔABC （两角对应相等，两个三角形相似） 同理 ΔCBD ∽ ΔABC ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD 求证： ΔABC ΔACD ∽ ΔCBD ∽ 如图， 由母子相似定理，得 推出： 所以： C A D B 同理，得： C A D B AC是AD,AB的比例中项。 BC是BD,AB的比例中项。 CD是BD,AD的比例中项。 那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。 1.射影： （1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？ （2）线段留在MN上的影子是什么？ A’ 定义： 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 直线l上的正射影，简称射影。 A B A’ B’ l A M N . B B’ 1.射影 点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。 一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。 A′ A A N M N M A B A′ B′ 点和线段的正射影简称射影 讨论： 1．线段在直线上的射影结果 点或线段 2．直线在直线上的射影结果 点或直线 各种线段在直线上的射影的情况： A B A’ B’ l A A’ B’ B l l A A’ B B’ 如图,CD是 的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, BD是直角边BC在斜边AB上的射影。 C A D B 由复习得： C A D B 用文字如何叙述？ 直角三角形中的成比例线段 C A D B 具体题目运用： 根据应用选取相应的乘积式。 总结： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的 思想。 A B D C 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。 例1 解: 答:CD,AC,BC的边长分别为 C A D B 分析：利用射影定理和勾股定理 (1)在 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段 AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可 求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法. 你都弄懂了吗？ 一、射影定理 　　射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略） 二、变式推广 　　１．逆用　 　如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有 ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到 △ＡＢＣ为直角三角形。 　　　　（证明略） 4 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D， DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。 求证：CF · AC = CG · BC 证明：∵CD⊥AB，DF ⊥AC ∴ △CDF∽△CAD ∴ CF︰CD=CD︰AC ∴ CD 2 =CF·AC 同理可证 CD2 =CG·BC ∴ CF·AC=CG·BC 例1. 如图,在 中, 分析:欲证