向量组与其线性表示.pptVIP

§4.1 向量组及其线性组合 主要内容： 一、n维向量的定义 二、向量组的定义 三、向量组的线性组合 四、向量组等价 五、向量组的线性表示 §1 向量组及其线性组合 定义:n个有次序的数a1 ,a2 , … ,an所组成的数组称为n维向量,这 n个数称为该向量的n个分量,第i个数称为第i个分量. 例 n维向量 §1 向量组及其线性组合 定义:给定向量组A:a1 ,a2 , … ,am ,对于任何一组实数k1 ,k2 , … ,km ,表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组的一个线性组合, k1 ,k2 , … ,km称为这个线性组合的系数. §1 向量组及其线性组合 定义:给定向量组A:a1 ,a2 , … ,am ,和向量b ,如果存在一组数λ1 , λ2 , … , λm ,使 b =λ1a1 + λ2 a2 + … + λmam , 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示. 注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b =x1a1 + x2 a2 + … + xmam 有解. §1 向量组及其线性组合 向量b能由向量组A线性表示. §1 向量组及其线性组合 定理 向量b能由向量组A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于矩阵B =(a1 ,a2 , … ,am ,b)的秩. §1 向量组及其线性组合 例 由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4， 即 R(A) ≠ R(B) ，因此向量 b不能由向量组 A 线性表示. §1 向量组及其线性组合 定义:设有两个向量组A:a1 ,a2 , … ,am 及B :b1 ,b2 , … ,bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示. 定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价. §1 向量组及其线性组合 例设有两个向量组A : 及B : 则称向量组B能由向量组A线性表示. §1 向量组及其线性组合 §1 向量组及其线性组合 定理 向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , … ,am , b1 ,b2 , … ,bl)的秩,即R(A) = R(A,B) . §1 向量组及其线性组合 §1 向量组及其线性组合 推论 向量组A:a1 ,a2 , … ,am 与向量组 B:b1 ,b2 , … ,bl等价的充分必要条件是 R(A) = R(B)= R(A,B) , 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵. §1 向量组及其线性组合 例设有两个向量组A : 及B : 向量组B与向量组A等价. §1 向量组及其线性组合 定理 设向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示,则 R(b1 ,b2 , … ,bl) ≤ R( a1 ,a2 , … ,am ) . * * * * 例 方程组 有解. 例 ～ 解 因为 例 设有两个向量组A : 及B : 则称向量组A与向量组B等价. 例设有两个向量组A : 及B : 向量组B能由向量组A线性表示.