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1978年全国统一高考数学试卷 　 一、解答题（共11小题，满分120分） 1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围． 　 2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积． 　 3．（4分）求函数的定义域． 　 4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值． 　 5．（4分）化简： 　 6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图． 　 7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点． 求证：（1）CD=CM=CN； （2）CD2=AM?BN． 　 8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645． 　 9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证） 　 10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：． 　 11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数） （1）m是什么数值时，y的极值是0？ （2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上． 　  1978年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、解答题（共11小题，满分120分） 1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围． 考点： 虚数单位i及其性质． 专题： 计算题． 分析： 直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可． 解答： 解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）． （2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）． （3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）． 点评： 本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题． 　 2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；综合法． 分析： 由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可． 解答： 解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h 因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长 所以有底面周长2πr=a，h=a，解得， 由公式圆柱体体积V=πr2h=． 答：直圆柱体的体积的体积是 点评： 本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题． 　 3．（4分）求函数的定义域． 考点： 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 专题： 计算题． 分析： 使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负． 解答： 解：由题意知：x﹣1＞0 且 2﹣x＞0 解得1＜x＜2． 故函数定义域为（1，2）． 点评： 本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集． 　 4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值． 考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题． 分析： 先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案． 解答： 解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°= 点评： 本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题． 　 5．（4分）化简： 考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 分析： 根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案． 解答： 解：原式==2?= 点评： 指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①ar?as=ar+s（a＞0，r，s∈R）．②（ar）s=ar?s（a＞0，r，s∈Q）．③（a?b）r=ar?br（a＞0，b＞0，r∈Q）． 　 6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图． 考点： 圆锥曲线的共同特征． 专题： 计算题． 分析： （1）k=1，方程的图形是圆