高校(理工类)数学第3节泰勒级数教学(课堂讲义).pptVIP

典型例题 例4 解 四、典型例题 例5 解 典型例题 例6 解 即微分方程 对微分方程逐次求导得: [例6] 典型例题 [例4-3-3] 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径。 （1）f(z)=1/(1+z) （2）f(z)=1/(1+z)2 （3）f(z)=ln (1+z) [解] （1）容易求得 （4.3.8） 上式也可以由[例4-2-1]中，将z用–z替换得到。 [例4-3-3] 由于函数1/(1+z)有一个奇点z= –1，它与原点之间的距离为1，所以收敛半径R=1。 （2）根据幂级数在收敛圆内可以逐项求导的性质，有 即 [例4-3-3] （3）在收敛圆|z|=1内，任取一条从0到z，|z|1的路线C，把（1）中的展开式两边沿C逐项积分，得 即： 五、小结与思考 通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记 五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成 泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数 展开成泰勒级数. 思考题 奇、偶函数的泰勒级数有什么特点? 思考题答案 奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项. 泰勒资料 Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England Brook Taylor §4.3 泰勒级数 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 一、问题的引入 四、典型例题 五、小结与思考 一、问题的引入 幂级数的性质说明，一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。 现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否都能用幂级数来表达？ 问题的引入 设函数f(z)在区域D内解析，而|ζ–z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周，它与它的内部全属于D，把它记作K，又设z为K内任一点（如图）： . 内任意点 . K . （4.3.1） ? 其中K取正方向。 问题的引入 按照柯西积分公式，有： 问题的引入 由于积分变量ζ取在圆周K上，点z在K的内部，所以|(z–z0)/(ζ–z0)|1。根据上节中的[例4-2-1]，就有 问题的引入 依此代入(4.3.1)，并把它写成 由解析函数的高阶导数公式(3.5.1)，上式又可以写成 （4.3.2） 其中， （4.3.3） 问题的引入 如果能够证明 在K内成立，那么由(4.3.2)就可得知 （4.3.4） 在K内成立，即f(z)在K内可以用幂级数来表达。 为此，我们令 显然，q是与积分变量ζ无关的量，并且0≤q1。 问题的引入 由于K属于D，而f(z)在D内解析，从而在K上连续，因此|f(ζ)|在K上也连续。设M是|f(ζ)|在K上的最大值，即在K上|f(ζ)|≤M，于是由(4.3.3)有： 问题的引入 因为 ，所以 在K内成立，从而公式(4.3.4)在K内成立，即： 泰勒级数 这个公式叫做f(z)在z0的泰勒展开式，它的右端的级数叫做f(z)在z0的泰勒级数，与实变函数的情形完全一样。 问题的引入 圆K的半径可以任意增大，只要它在D内，所以f(z)在z0的泰勒级数的收敛半径至少等于从z0到D的边界上各点的最短距离。 问题的引入 如果 到 的边界上各点的最短距离为 那末 在 的泰勒展开式在　　　　内成立． 因为凡满足 的 必能使 由上讨论得重要定理——泰勒展开定理 在 的泰勒级数 的收敛半径 至少等于　， 但 二、泰勒定理 从以上的讨论，得到： [定理4-3-1] 设f(z)在区域D内解析，z0为D内的一点，R为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当|z–z0|R时， 成立，其中 泰勒级数 泰勒展开式 泰勒介绍 泰勒级数 应当指出，如果f(z)有奇点，那末使f(z)在z0的泰勒展开式成立的R就等于从z0到f(z)的最近一个奇点α之间的距离，即 R=|α–z0| 这是因为f(z)在收敛圆内解析，故奇点α不可能在收敛圆内。又因为奇点α不可能在收敛圆外，不然收敛半径还可以扩大，因此奇点α只能在收敛圆周上。 说明 1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (为什么?) 4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?) 说明 　　因为　　解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性;