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莱布尼茨从1684年开始发表论文,但他的许多成果以及他的思想的发展,实际上都包含在他从1673年起写的,但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到,他从一个课题跳到另一个课题,并随着他的思想的发展而改变他所用的记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和文章时,或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想。 1714年莱布尼茨写了《微分学的历史和起源》,在这本书中,他给出了一些关于自己思想发展的记载,由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名,所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。不管他的笔记本多么混乱,都揭示了一个最伟大的才智,怎样为了达到理解和创造而奋斗。 特别值得一提的是:莱布尼茨很早就意识到,微分与积分(看作是和)必定是相反的过程;1676年6月23日的手稿中,他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx ,其中dy,dx 是变量的差,dy/dx 是差的商。莱布尼茨的工作,虽然富于启发性而且意义深远,但它是十分零乱不全的,以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工,并做了大量的发展工作。 1716年,他无声无息地死去。 微积分是能应用于许多类函数的一种新的 普遍的方法,这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨俩人。经过他们的工作,微积分不再是古希腊几何的附庸和延展,而是一门独立的科学,用来处理较以前更为广泛的问题。 任何一件新事物出现时,一般不可能是十分完美的。如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函数不一定有导数——而这却是一般情形——那么微分学就决不会被创造出来。 —— 毕卡 创建微积分优先权的争论 牛顿从1665年到1687年把结果通知了他的朋友,特别是把他的短文《分析学》送给了巴罗,但他于1687年以前,并没有正式公开发表过微积分方面的任何工作。 创建微积分优先权的争论 虽然莱布尼茨于1672年访问巴黎,1673年访问伦敦时,和一些知道牛顿工作的人通信。然而,他直到1684年才正式公开发表微积分的著作。于是就发生了莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题。莱布尼茨被指责为剽窃者。 在这两个人死了很久以后,调查证明:虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的,但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很多启发。 创建微积分优先权的争论 这件事的结果是,英国的和大陆的数学家停止了思想交换。因为牛顿在微积分方面的主要工作是以几何为工具的,所以在他死后近一百年中,英国人继续以几何为主要工具研究微积分。而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法,使它发展并不断进行改善。这件事的影响非常巨大,它不仅使英国的数学家落在后面,而且使数学学科损失了一批最有才能的人所应作出的贡献。 创建微积分优先权的争论 十八世纪的微积分 因此,看来现代的数学家们象从事科学的人们那样,在应用他们的原理方面费的心血比在了解这些原理方面多得多。 —— 贝克莱 主教 十七世纪最伟大的成就就是微积分。由此起源产生了数学的一些主要的新分支,如微分方程,无穷级数,微分几何,变分法,复变函数等等。其中某些工作的萌芽确实在牛顿和莱布尼茨的工作中就已经出现了。十八世纪,人们大量地致力于这些分析分支的发展。但是在这一发展完成之前,首先必须扩展微积分本身。 十八世纪的微积分 牛顿和莱布尼茨创造了基本方法,但也留下了许多要做的事情:必须清楚地认识或造出许多新的一元函数和多元函数;微分和积分的技巧必须推广到某些已经存在或别的有待引入的函数;此外还缺少微积分的逻辑基础。当然,第一目标是扩展微积分的主要内容。 十八世纪的微积分 十八世纪,人们的确扩展了微积分,并创立了一些新的分析分支。数学家们对微积分以及随后产生的分析分支做了纯形式的处理。在这个经受了挫折、错误、不完全和混乱的处理过程中,虽然他们的技巧是很高超的,但却不是由明确的数学思想指导的,而是由直观和物理见解指引的。这些形式的努力经受了后来的批判性检查的考验,并产生了伟大的思想线索。人们深深感受到,数学新领域的征服有时超过军事上的征服。它大胆地闯入敌人的领土,攻占要塞,然后,就必须由更广阔,更彻底,更谨慎的行动来扩大和支持这些入侵,以保卫那些仅仅暂时地、不牢固地控制了的东西。 十八世纪试图在微积分中注入严密性 十八世纪
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