大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第三节课件(课堂讲义).pptVIP

解 设有 n 个数 k1 , k2 , … , kn , 使 k1?1 + k2? 2 + ... +kn?n = 0 , 也就是 k1(1,0,…,0) + k2(0,1,…,0) + … + kn(0,0,…, 1) = ( k1 , k2 , … , kn ) = (0, 0, … , 0) . 于是就有 k1 = k2 = … = kn = 0 . 所以 ? 1 , ? 2 , … , ? n 线性无关. 例 2 判断向量组 的线性相关性. 解 设有 3 个数 x1 , x2 , x3 , 使 x1?1 + x2?2 + x3?3 = 0 . 这个向量等式对应的线性方程组为 用消元法求解 得，它有无穷多解，当然有非零解. 故向量组 ?1 , ?2 , ?3 线性相关. 由上述两个例子，可以得到用定义判别向量组 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 的线性相关性的方法是： 设有 s 个数 x1 , x2 , … , xs , 使 x1?1 + x2?2 + ... + xs?s = 0 . 该向量方程所对应的线性方程组为 若线性方程组 有非零解，则向量组?1 , ?2 , … , ?s 线性相关； 若它只有零解，则向量组?1 , ?2 , … , ?s 线性无关. 四、线性相关性的判别定理 判别定理 1 设向量组 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到 的 n + 1 维的向量组 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain , ai, n+1) , i = 1, 2, … , s 也线性无关. 这个结论可以推广到添几个分量的情形. 利用第一节 即得向量组的一个基本 性质. 判别定理 2 设 ?1 , ?2 , … , ?r 与 ?1 , ?2 , … , ?s 是两个向量组. 如果 1) 向量组 ?1 , ?2 , … , ?r 可以经?1 , ?2 , … , ?s 线性表出， 2) r s , 那么向量组 ?1 , ?2 , … , ?r 必线性相关. 证明 由 1) 有 为了证明?1 , ?2 , … , ?r 线性相关，只要证可以找 到不全为零的数 k1 , k2 , … , kr , 使 k1?1 + k2?2 + ... + kr?r = 0 . 为此，作线性组合 x1?1 + x2?2 + ... + xr?r = 如果我们能找到不全为零的数 x1 , x2 , … , xr , 使 ?1 , ?2 , … , ?s 的系数全为零，那就证明了?1,?2, …, ?r 线性相关性. 这一点是能够做到的，因为由条件 2)，即 r s ，齐次方程组 中未知量的个数大于方程的个数，根据 它有非零解. 证毕 把 推论 1 如果向量组?1 , ?2 , … , ?r 可以经?1 , ?2 , … , ?s 线性表出，且 ?1 , ?2 , … , ?r 线性无关， 那么 r ? s . 直接应用定理 2，即得： 推论 2 任意 n + 1 个 n 维向量必线性相关. 证明 因为每个 n 维向量都可以被 n 维单位 向量 ?1 , ?2 , … , ?n , 线性表出，且 n +1 n , 所以 必线性相关. 证毕 换个说法，即得： 由推论 1 ，得： 推论 3 两个线性无关的等价的向量组，必 含有相同个数的向量. 定理 2 的几何意义 在三维向量的情形，如果 s = 2, 那么可以由向 量 ?1, ?2 线性表出的向量都在 ?1, ?2 所在的平面上, 因而这些向量是共面的，也就是，当 r 2 时，这 些向量线性相关. 两个向量组 ?1, ?2 与 ?1, ?2 等价 就意味着它们在同一平面上. 五、极大线性无关组 1. 定义 定义 14 一个向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性 无关并且从这向量组中任意添一个向量 (如果还有 的话)所得的部分向量组都线性相关. 例 3 设有向量组 验证部分组?1, ?2 、 ?2, ?3 、 ?1, ?3 都是它的极大 线性无关组. 解 因为两个向量构成的向量组线性相关的 充要条件是它们的分量对应成比例. 而向量组?1, ?2, ?3 中任意两个向量的分量都不成比例， 所以 向量组 ?1, ?2 、 ?2, ?3 、 ?1, ?3 都是线性无关的. 又因为向量组 ?1, ?2 , ?3 线性相关 ( 它们都是?1, ?2 , ?3 的极大线性无关组. ), 因此， 这个