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第二节 微积分基本公式 问题的提出 积分上限函数及其导数 牛顿 — 莱布尼茨公式 fundamental formula of calculus 第五章 定积分 例 变速直线运动的路程： 这段路程还可以表示为： 设某物体作变速直线运动, 已知速度 求物体在时间间隔 所经过的路程. 微积分基本公式 一、问题的提出 其中 定积分 积分上限函数 注 被积函数 设f (x)在[a,b]中可积, 与 自变量 x 积分变量 t. 微积分基本公式 二、积分上限函数及其导数 几何意义： 红色部分 的面积. 证 定理1 微积分基本公式 (原函数存在定理) 定积分对区间可加性 积分中值定理 推论 微积分基本公式 微积分基本公式 解 例 解 微积分基本公式 例 解 微积分基本公式 例 解 应用洛必达法则. 微积分基本公式 证 令 微积分基本公式 单调增加. 证明: 只有一个解. 例 所以原方程 只有一个解. 定理2 证 牛顿(英)1642―1727 莱布尼茨(德)1646―1716 都是 f (x) 在[a, b] 上的原函数, C是待定常数, 微积分基本公式 三、牛顿—莱布尼茨公式 N—L公式： 微积分基本公式 微积分基本公式 微积分基本公式表明 注 求定积分问题转化为求原函数的问题. 连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它任意一个原函数在区间[a, b]上的增量. 仍成立. 微积分基本公式 例 原式 解 面积 例 解 平面图形的面积. 所围成的 微积分基本公式 例 解 微积分基本公式 例 解 注 分段函数分段应用牛顿--莱布尼茨公式求定积分。 微积分基本公式 解 微积分基本公式 例 微积分基本公式 分析 必须先化掉 积分号, 对所给积分方程两边求导. 解 需先求出 微积分基本公式 已知函数 求积分上限的函数 解 分段函数 微积分基本公式 证 微积分基本公式 证明函数 单调增加. 解 求极限 微积分基本公式 解 积分和的极限. 微积分基本公式 微积分基本公式 解 原式 解 原式= 微积分基本公式 微积分基本公式 积分上限函数 牛顿－莱布尼茨公式沟通了 微分学与积分学之间的关系． 微积分基本公式 四、小结 微积分基本公式 思考题1 对吗? 错！正确解答： 微积分基本公式 思考题2 已知两曲线 在 处切线相同, 写出此切线方程, 并求 解 所求切线方程： 微积分基本公式 例 试证: 积分中值定理 则至少 存在一点 证 令 由原函数存在定理: 可导, 根据拉格朗日中值定理, 至少存在一点 即 * *