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《函数的基本性质》教案(新人教必修1)
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共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 7页 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1页
课题:§1.
教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.
教学重点:函数的单调性及其几何意义.
教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.
教学过程:
引入课题
观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
y
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
eq \o\ac(○,1) 随x的增大,y的值有什么变化?
eq \o\ac(○,2) 能否看出函数的最大、最小值?
yx1-11-1 eq \o\ac(○,3
y
x
1
-1
1
-1
画出下列函数的图象,观察其变化规律:
1.f(x) = x
eq \o\ac(○,1) 从左至右图象上升还是下降 ______?
eq \o\ac(○,2) 在区间 ____________ 上,随着x的增
大,f(x)的值随着 ________ .
y
y
x
1
-1
1
-1
2.f(x) = -2x+1
eq \o\ac(○,1) 从左至右图象上升还是下降 ______?
eq \o\ac(○,2) 在区间 ____________ 上,随着x的增
大,f(x)的值随着 ________ .
yx1
y
x
1
-1
1
-1
eq \o\ac(○,1)在区间 ____________ 上,f(x)的值随
着x的增大而 ________ .
eq \o\ac(○,2) 在区间 ____________ 上,f(x)的值随
着x的增大而 ________ .
新课教学
(一)函数单调性定义
1.增函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function).
思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)
注意:
eq \o\ac(○,1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
eq \o\ac(○,2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2) .
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:
3.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
eq \o\ac(○,1) 任取x1,x2∈D,且x1x2;
eq \o\ac(○,2) 作差f(x1)-f(x2);
eq \o\ac(○,3) 变形(通常是因式分解和配方);
eq \o\ac(○,4) 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
eq \o\ac(○,5) 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(二)典型例题
例1.(教材P34例1)根据函数图象说明函数的单调性.
解:(略)
巩固练习:课本P38练习第1、2题
例2.(教材P34例2)根据函数单调性定义证明函数的单调性.
解:(略)
巩固练习:
eq \o\ac(○,1) 课本P38练习第3题;
eq \o\ac(○,2) 证明函数在(1,+∞)上为增函数.
例3.借助计算机作出函数y =-x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间.
解:(略)
思考:画出反比例函数的图象.
eq \o\ac(○,1) 这个函数的定义域是什么?
eq \o\ac(○,2) 它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.
说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象.
归纳小结,强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
作业布置
书面作业:课本P45 习题1.3(A组) 第1- 5题.
提高作业:设f(x)是定义在R上的增函数
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