直线的参数方程几何意义.doc

乐恩特文化传播有限公司 乐恩特教育个性化教学辅导教案 课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点、倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数），其中t表示直线上以定点为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段的数量， 的几何意义是直线上点到M的距离.此时,若t0,则的方向向上;若t0,则的方向向下;若t=0,则点与点M重合. 由此，易得参数t具有如下 的性质：若直线上两点A、B所对应的参数分别为 ，则 性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为 性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则 ，反之亦然。 精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在 x轴方向的分速度是?3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。 分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程eq \b\lc\{(\a\al(x = x0 +at，,y = y0 +bt))(t是参数)。 解：由题意知则直线PQ的方程是eq \b\lc\{(\a\al(x = 1 ? 3 t，,y = 2 + 4 t ))，其中时间t 是参数，将t=3s代入得Q（?8，12）。 例2．求点A（?1，?2）关于直线l：2x ?3y +1 =0的对称点A 的坐标。 解：由条件，设直线AA 的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\al(x = ?1 ? eq \f(2,eq \r(13)) t ，,y = ?2 + eq \f(3,eq \r(13)) t))(t是参数)， ∵A到直线l的距离d = eq \f(5,eq \r(13))， ∴ t = AA = eq \f(10,eq \r(13))， 代入直线的参数方程得A (? eq \f(33,13)，eq \f(4,13))。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为, 1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积. 解:直线的参数方程为( t为参数) 1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为 2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以= 点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。 三 求直线与曲线相交的弦长 例1 过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|. 解? 因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为 ?? (为参数) 代入整理得 由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。 ∴===. 例2 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积. 解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是 (t为参数) 即 (t为参数) 把它代入抛物线的方程,得 解得 由参数t的几何意义得 点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些. 四、求解中点问题 例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标. 解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得: cos, 所以,直线的参数方程为(t为参数) 代入,整理得 中点M的相应的参数是= 所以点M的坐标为 点评:在直线的参数方程中,当t0,则的方向向上;当t0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同. 例2．已知双曲线 eq x2 ? \f(y2,2) = 1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。 解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是eq \b\lc\{(\a\al(x = x0 +t cos θ，,y = y0 +t sin θ))(