第11章 结构的稳定计算-丁幼亮.ppt

两类稳定计算简例 弹性压杆的稳定——静力法 弹性体系的平衡方程?势能驻值原理（对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能Π为驻值，即：δΠ=0 , Π=应变能U+外力势能UP MA=kθ 2 2 q l = 2 sin 2 2 q l = ) cos 1 ( q l l - = MA=kθ 弹簧应变能 荷载势能: 应用势能驻值条件: 位移有非零解则: 势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件. 但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种， 要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载 之间的关系。 P l A B k B′ λ θ EI=∞ 总势能是位移θ的二次函数， 1）Pk/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定） (即UUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，压杆恢复到原有平衡位置)当θ=0，Π为极小值0。 对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值 2）Pk/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定） (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。 当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。 3）P=k/l ，当θ为任意值时，Π恒等于零(即U=UP) 。 体系处 于中性平衡（临界状态）这是的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。 θ Π PPcr θ Π PPcr θ Π P=Pcr 结论： 1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。 2）临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。或表 述为：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。 3）当体系处于中性平衡P=Pcr时，如依原始平衡位置作为参考状 态，必有总势能=0。 对于多自由度体系，结论仍然成立。 P P l l A B C k 例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。 1、静力法： 两个自由度，取θ1 θ2 为位移参数，设失稳曲 线如图。 分析受力列平衡方程： 2 q k ( ) 2 1 q q - k BC: AC: 由位移参数不全为零得稳定方程并求解： 求失稳曲线： 实际失稳曲线 只是理论上存在的失稳曲线 2、能量法： 外力势能： P P l l A B C k 2 q k ( ) 2 1 q q - k λ 应变能： 总势能： 根据势能驻值条件： 由位移参数不全为零得稳定方程： 以下计算同静力法。 例3：用静力法求图 示体系的临界荷载。 两个自由度，取θ1 θ2 为位移参数，设失稳曲 线如图。 分析受力列平衡方程： BC: AC: 由位移参数不全为零得稳定方程： l l l EI 2EI EI=∞ EI=∞ A B C P B A B C P P 例3：用能量法求图示体 系的临界荷载。 两个自由度，取θ1 θ2 为位移参数，设失稳曲 线如图。 求变形能和外力势能： l l l EI 2EI EI=∞ EI=∞ A B C P B A B C P P 当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。 11.3 用能量法求临界荷载 11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载 将位移函数表示为有限个已知函数的线性组合，将无限自由度体系化为有限自由度体系。 φi(x)（i=1,2,…，n）为形状函数：满足位移边界条件(几何边界条件)的已知函数； ci（i=1,2,…，n）为一组相互独立的参数 1）应变能 只考虑弯曲应变能 11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载 11.3 用能量法求临界荷载 荷载的势能为： 2）荷载的势能 11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载 11.3 用能量法求临界荷载 3）总势能 势能驻值 以上方法称为瑞利-里兹法。 如果n个φi(x)的线性组合能给出与最小临界荷载相应的的位移函数，则瑞利-里兹法可得出最小临界荷载的准确值。在一般情况下，所选择的形状函数无论怎样组合也得不出与最小临界荷载相应的的位移函数，这就相当于给结构引进了附加约束，使它不可能发生这样的位移，这时用瑞利-里兹法只能得出最小临界荷载的上限。 11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载 11.3 用能量法求临界荷载 例11-3 试用能量法求图11.15所示压杆的最小临界荷载。 形函数满足的位移边界条件：(y)x=0=0；(y)x=0=0 抛物线 设失稳时的位移函数为： y=c1x2 =φi(x) 势能驻值 c1≠0 FPcr=3EI/l2 11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载 11.3 用能量法求临界荷载 例11-3 试用能