尺规作线段的垂直平分线【必威体育精装版精选】.doc

第20课时 尺规作线段的垂直平分线 一、教学内容： 线段的垂直平分线的性质定理和判定定理； 用直尺和圆规作出已知线段的垂直平分线； 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理 二、教学目标 1、要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能利用这两个定理解决一些问题。 2、能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。 3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线； 已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。 4、通过本节学习，进一步拓展学生的推理证明意识和能力 三、知识要点分析 1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 2. 三角形三条边的垂直平分线定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 3. 尺规作图 尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。 能写出尺规作图的步骤 作已知线段的垂直平分线 已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。 四、重难点 重点： 1、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 2、作已知线段的垂直平分线。 3、三角形三边的垂直平分线性质。 4、已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。 难点： 1. 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理和证明 2. 理解三线共点的证明方法。 3. 熟练尺规作图并能说出作图依据。 【典型例题】 线段垂直平分线性质定理和判定定理 例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴. 我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成 你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？ 有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢. ” 通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了.” 我们只需在线段垂直平分线上任取一点作代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质 例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB. 分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS） ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）. 想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。 这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 证明：取AB的中点C，过PC作直线. ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC（SSS）. ∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等）. 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上 尺规作图 例3、用尺规作线段的垂直平分线 已知：线段AB（如图）. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：1. 分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. 2. 作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. 现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试 观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？ 例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP. 求证：P点在AC的垂直平分线上. 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）. 同理PB=PC. ∴PA=PC. ∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P. 从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？ （交点P到三角形三个顶点的距离相等. ） 这就是我们今天学习的又一个定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 例5、边及底边上的高，求作等腰三角形. 已知：线段a、h 求作：△AB