二项式系数5.1Pascal公式.ppt

并且有对称式： 定理5.1.1 （pascal公式）对于满足1≤k≤n－1 的所有整数k和n，均有： 证明：设S是含有n个元素的集合。显然S的组合数是 。另一方面，任意从S中取出一元素x，那么，集合S - {x} 的所有k -组合均不含x，且其数目为 ；集合S - {x} 的所有(k-1)-组合 它们刚好是{a, b, c, d }的2-组合。因此 二项式系数不一定只能用公式来求，在1653年由Psscal推导出命名为“Psscal三角形”的数组，在1261年，中国宋朝数学家杨辉推导出命名为“杨辉三角形”；它们都能求二项式系数。 通过Pascal三角形和杨辉三角形我们可以验证 对称式： 和式： 5.2 二项式定理 二项式系数的名字来自在二项式定理中的使用。该定理最初的少数情形就是我们熟悉的一些代数式。 例如 (x+y)2=x2+2xy+y2 (x+y)3=x3+3x2y+ 3xy2+y3 (x+y)4=x4+4x3y+ 6x2y2+4xy3+y4 由以上几个代数式可以看出二项式(x+y)n展开后 有下列特征： 1） (x+y)n展开后共有 n+1 项； 2）展开式中每个单项式的幂是 n ; 3）元素x由n到0按降幂排列而元素y是由0到n 按升幂排列； 4）每个单项式的系数等于对应的二项式系数。 定理5.2.1 设n是一个正整数，则对于任何x，y 有： 用和式写出，即 由前面的结论，我们可以得到如下等价形式： 由对称式得： 交换x与y的位置得： 下面我们先用排列和组合原理来推导二项式 定理： 证明：用归纳法证 如果 n=1 公式变成： 显然成立。现在假设对于正整数n公式成立， 证明对于n+1时公式成立； ( x + y ) n+1 = ( x + y ) ( x + y ) n 将归纳假设代入上式， 公式应用时，常常出现y = 1的情况，因此我们把 它作为一个特殊的公式记述如下： 定理5.2.2令n为一正整数。则对所有的x，有： 当 n=2,3,4时就是代数中经常用到的平方、立方公式。可以用杨辉三角形得到系数。 总 结 本次课我们介绍了二项式定理和一些恒等式，要求能够利用二项式定理证明相关的结论。 掌握恒等式证明的方法。 本次授课到此结束 作业如下:P97 6，7, 16, 19 6. 在(3x-2y)18的展开式中，x5y13的系数是什么？ x8y8的系数是什么？(后一问并非印刷错误) 7. 用二项式定理证明 对任意实数推广求和 证明：将左边写和式形式，由恒等式1）： 证明：由恒等式2），对2)式中的n用n-1替换，再对等式两端乘以n得： 证明：对等式 求导得： 再乘以x得： 对其两边再求导得： 将x=1代入得： 该等式说明，杨辉三角形第n行上的系数的平方和是 证明：设S是2n个元素的集合， 正好是S集合的n-组合的组合数，将S化分成两个子集A,B ;每个子集都有n个元素。再用对集合S的划分来划分S的每个n-组合，假设每个n-组合中的n个 元素是分别来自A中的k个和B中的n-k，这里 0≤k≤n，我们再根据k从0到n的取值对S的每个n-组合来划分成：C0, C1, C2,…. Cn,共n+1个部分，由加法原理： 其中每个?Ck?是从每个n-组合通过集合A中选择k个元素和B中选择n-k个元素，分别有 个和 个选择，根据乘法原理： 将它代入后得： 证毕。 16. 通过积分二项式的表达式，证明对正整数n有 19. 通过观察 并使用恒等式(5-14)，求级数12+22+32+....+n2 的和。  下次上课内容： 5.4-5.7 二项式定理的单峰性、 牛顿二项式定理 、多项式定理 * * 第五章 二项式系数 5.1 Pascal 公