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* * 余铭战 制作 温故知新 问题1 体积的概念？ 体积——几何体占有空间部分的大小 问题2 长方体的体积？ V长方体= sh（底面积s和高h的积） 特别地 V正方体= a3 （棱长a ） V长方体= abc （长a、宽b、高c ) 何为祖暅原理？ 问题3 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．课本P34 公式推导 研究两叠作业本的体积，知道它们体积相等的条件为 1 .高度相同 2.同一层上 每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行 问题4 用祖暅原理证明的步骤？ （1）看这两个几何体能否夹在两个平行平面之间； （2）若能，用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体； （3）两个截面的面积是否总相等．若是，则满足祖暅原理的条件 三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积相等． 公式推导 α β s s 与长方体等底面积等高的圆柱、棱柱 打开动画1 长方体 圆柱 棱柱 （1）这三个几何体夹在两个平行平面之间； （2）三个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截； (棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等). （3）三个截面的面积总相等． 公式推导 公式推导 定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底 面 积s和高h的积。 推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是 V圆柱= r2h V柱体= sh 由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理： 总结 柱体体积公式及其探索思路？ 柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ Ｖ长方体＝Ｓｈ + 公式推导 等底面积等高的任意两个柱体的体积 相等 柱体的代表 问题5 锥体体积公式及其探索思路？ 锥体的体积公式Ｖ锥体＝? ? + 公式推导 等底面积等高的任意两个锥体的体积 相等? 锥体的代表 α s h s h 等底面积等高的任意两个锥体的体积 相等 S1 S2 h1 h1 β 公式推导 推导1 只要证明S1= S2 即可 打开动画1 即 ∴ = = = 公式推导 α s h s h S1 S2 h1 h1 β ∵截面与底面相似，它们的面积比等于相对应的高的平方比 公式推导 等底面积等高的两个锥体的体积相等 推导1 + 祖暅原理 (定理） 推导2 但锥体的体积如何求出？ “简单”的锥体作代表 三棱锥 ? 锥体的代表 因为锥体体积只和底面积、高有关，而与形状无关。故我们选用最简单的三棱锥作为突破口 公式推导 推导3 那么怎样研究三棱锥的体积呢？ 回忆直角三角形面积公式探求过程： 补 割 回忆组合图形面积公式探求过程： + 割 补 先补后割与先割后补是处理几何问题常用的方法（即割补法）。能否将上述思维方法迁移到求三棱锥的体积上来？ 公式推导 A B C A′ B′ C′ 显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h . ∴V三棱柱 = S h h S 公式推导 1 2 3 显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h . ∴V三棱柱 = S h A B C A′ B′ C′ 公式推导 显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h . ∴V三棱柱 = S h 1 2 3 A B C A′ B′ C′ 1 2 显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h . ∴V三棱柱 = S h A B B′ C A′ B′ 3 C A′ C′ B′ 3 C A′ C′ B′ 3 C A′ C′ B′ 3 C A′ ′ 公式推导 1 A B C A′ B′ 3 C A′ C′ B B′ C A′ 2 B B′ C A′ 2 B B′ C A′ 2 B C A′ B B′ C A′ 2 公式推导 A 1 B C A′ B B′ C A′ 2 B B′ C A′ 2 B B′ C A′ 2 B C A′ B B′ C A′ 2 B′ 3 C A′ C′ 公式推导