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材料力学中的平剖面假设.doc
材料力学中的平剖面假设
学过材料力学的人对平剖面假设都不陌生，因为材料力学的几乎就是在线弹性、小变形和平剖面的基础上建立的。满足平剖面假设，材料的应力和应变计算就可以用简单的公式计算了。那么平剖面假设如何简化应力应变的计算呢，以下是推导过程。
取在拉力作用下均质各向同性材料杆的一个微元作为代表单元，其x方向长度为a，y方向长度为b，z方向长度为c。
定义：
平均应力为：
1
平均应变为：
2
该单元内产生的应变能为：
3
其中V为单元的体积，为应力张量， 为应变张量。
位移函数u在单元内各点都连续可导，根据高斯定理有：
4
其中n为单元表面的单位法线，S为单元表面。
如果只在x轴加拉力， 则方程4减缩为：
5
引入平剖面假设，即变形后原来的平面仍然保持平面，则有：
V=a·b·c ， ，
6
7
作用在单元上的外来做功为：
8
外力功等于应变能：
= 9
于是有：
即杆受轴向拉伸时横截面上的平均应力等于力除以截面积。这是我们非常熟悉的简单公式。如果平剖面假设不成立，那么应力的计算将是非常麻烦的。
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