二维图形变换与裁剪1.ppt

1) 齐次坐标与平移变换 前面四种变换都可以通过变换矩阵 来实现，那么它是否适合于平移变换呢？ 变换前后的坐标必须满足下面的关系： 这里tx，ty是平移量，应为常数，但是应用上述的变换矩阵对点进行变换： 这里，cy，bx均非常，因此用原来的2×2的变换矩阵是无法实现平移变换的。 5.1.3 几何变换的齐次坐标表示 我们把2×2矩阵扩充为3×2矩阵，即令： 但这样又带来新的问题，二维图形的点集矩阵是n×2阶的，而变换矩阵是3×2阶的，根据矩阵乘法规则，它们是无法相乘的。为此，我们把点向量也作扩充，将 扩展为 ,即把点集矩阵扩充为n×3阶 矩阵。这样，点集矩阵与变换矩阵即可以进行乘法运算： 5.1.3 几何变换的齐次坐标表示 对点进行平移变换： 对点进行平移变换： 这里L，m分别为x，y方向的平移量。 为使二维变换矩阵具有更多的功能，可将3×2变换矩阵进一步扩充成3×3阶矩阵，即： 则平移变换矩阵为： 5.1.3 几何变换的齐次坐标表示 对点进行平移变换： 例：设l = 20，m = 20，对下图中的字母T做平移变换得： 5.1.3 几何变换的齐次坐标表示 5.1.3 几何变换的齐次坐标表示 如上讨论，在平移变换中，我们将 扩充为 ， 实际上是由二维向量变为三维向量， 但 可以看作是z = 1平面上的点，也就是说，经此扩充后，图形落在了z = 1的平面上，它对图形的形状没有影响。 这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法。进一步推广，用n+1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法。 齐次坐标表示中，一个点可以有多个坐标。 无穷远处点的表示，常数为0 2）二维图形齐次坐标矩阵变换 对于前面介绍基本变换可用二维图形齐次坐标变换矩阵一般表达式 这3×3矩阵中各元素功能一共可分成四块，即 这个2×2子矩阵可以实现图形的比例、对称、 错切、旋转等基本变换； 可以实现图形平移变换； 可以实现图形透视变换； 可以实现图形全比例变换。 5.1.3 几何变换的齐次坐标表示 例如，用矩阵 对图形进行变换： 当s1时，图形产生整体比例放大。 当s1时，图形产生整体比例缩小。 当s=1时，图形大小不变。 由此表明，齐次坐标的应用，扩大了变换矩阵功能，只要对矩阵中有关元素赋以不同的 值，即可达到预期变换目的。 - 5.1.3 几何变换的齐次坐标表示 对称变换 上述的五种二维图形几何变换是二维图形几何变换中的最基本的几何变换，在进行这些基本的几何变换时，我们给定了一些特定的约束条件，如:旋转变换是指绕坐标原点的旋转，比例变换是关于坐标原点的放大或缩小等等，因而是几何变换中的一些简单情形。 实际中的二维图形作几何变换时要复杂得多，往往是多种基本的几何变换复合而成的，因此我们把由若干个基本的几何变换复合而成为一个几何变换的过程称为组合变换，也称为几何变换的级联。 5.1.4 组合变换 1）绕任意点旋转变换 平面图形绕任意点p（xp，yp）旋转角，需要通过以下几个步骤来实现： （1）将旋转中心平移到原点，变换矩阵为： Y X p（xp，yp） 5.1.4 组合变换 （2） 将图形绕坐标系原点旋转角α ，变换矩阵为： Y X α （3） 将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为： α Y X α 5.1.4 组合变换 因此，绕任意点p的旋转变换矩阵为： 显然，当xp=0，yp=0时，即为对原点的旋转变换矩阵。 5.1.4 组合变换 问题：T1,T2,T3的顺序能不能换？ 2）对任意点做比例变换 设任意一点p（xp， yp） ，作比例变换需通过以下步骤来完成： （1）将P点移到坐标原点，变换矩阵为： Y X 5.1.4 组合变换 （2）作关于原点的比例变换，变换矩阵为： （3）对原点作反平移变换，移到原来的位置： Y X Y X 5.1.4 组合变换 对任意点P作比例变换，其变换矩阵为 5.1.4 组合变换 5.1.4 组合变换 3）对任意直线对称变换 如下图所示，设任意直线的方程为：Ax+By+C=0，直线在X轴和Y轴上的截矩分别–C/A和–C/B，直线与X轴的夹角为，α=arctg(–A/B)。 Y X -