南通中学2014-2015高一数学试题.doc

南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试 数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上． 1． 若角135°的终边上有一点(一4，a)，则a的值是 ．4 2． 若的最小正周期是，其中，则的值是 ．2 3． 化简：= ． 4． 已知向量的夹角的大小为 ． 5． 已知,那么角是第 象限角.二或三 6． 已知向量，，若，则 ． 7． 的值为 ．2 8． 下把函数的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为f(x)= ． 9． 函数在，上有2个零点，则实数的取值范围 ． 10．已知函数，满足，则= ．-5 11. 在ΔABC中，有命题： ①； ②； ③若，则ΔABC为等腰三角形； ④若ΔABC为直角三角形，则. 上述命题正确的是 （填序号）．②③ 12．已知函数,则函数的定义域是 ． 13．已知,,与的夹角为,且,则实数的值为 ．2 14．在ΔABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则等于 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分） 已知向量，，且. (1)求的值； (2)求的值. 解：(1)因为， 即． 显然，，所以． (2)=； 16．（本小题满分14分） 已知，, 当为何值时 (1)与垂直？ (2)与平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：； (1)，得 ·， (1)，得， 此时，所以方向相反. 17．（本小题满分14分） 已知函数（，，）的图像如图所示 (1)求出函数的解析式； (2)若将函数的图像向右移动个单位得到函数 的图像，求出函数的单调增区间及 对称中心. 解：（1） （2） 增区间 ； 增区间 ； 对称中心 18．（本小题满分16分） 已知，，且. (1)求的值； (2)若，且，求的值． 19．（本小题满分16分） 某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=米，为了便于游客休闲散 步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划， 要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°． (1)设∠BOE=，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低 并求出最低总费用． 解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=，∴OE=. 在Rt△AOF中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=，∴OF=. 又∠EOF=90°， ∴EF==, ∴， 即．　　　　　　　 当点F在点D时，这时角最小，求得此时=； 当点E在C点时，这时角最大，求得此时=． 故此函数的定义域为. (2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求的周长的最小值即可. 由（1）得，， 设，则， ∴ 由，，得，∴， 从而， 当，即BE=25时，, 所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 20．（本小题满分16分） 如图，已知扇形OAB的周长2+，面积为，并且. (1)求的大小； (2)如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中、 ，求的最大值与最小值的和； (3)若点C、D在以O为圆心的圆上，且．问 与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值． 解：（1）设扇形半径为，圆心角 由得或 又当、时，不成立；当、时，成立， 所以 （2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B，C． 由得，． 即． 则 又，则，故．