商丘市2014年高三第三次模拟考试数学（理科）答案.doc

PAGE PAGE 1 高三三模数学（理科）答案第 页（共7页） 商丘市2014年第三次模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分） （1）B （2）C （3）B （4）D （5）D （6）B （7）D （8）C （9）D （10）C （11）A （12）A 二、填空题（每小题5分，共20分） （13） （14） （15） （16） 三、解答题 （17）解（Ⅰ）、、成等差数列，且公差为2，、. 又，， ， ……………………………2分 ， 恒等变形得 ， ……………………………4分 解得或.又，. ……………………………6分 （Ⅱ）在中，， ， ，. ……………………………8分 的周长 ，……………10分 又，, 当即时，取得最大值．…………………………12分 （18）解：（Ⅰ）设巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞为事件， 则 ……………………………3分 （Ⅱ）依题意,的可能取值为0,1,2 ． ……………………………4分 所以,随机变量的分布列为: 0 1 2 ……………………………8分 (方法一)设巷道中堵塞点个数为,则的可能取值为0,1,2,3． 所以,随机变量的分布列为: 0 1 2 3 ． ……………………………11分 因为,所以选择巷道为抢险路线为好．……………………………12分 (方法二)设巷道中堵塞点个数为,则随机变量, 所以, ． 因为,所以选择巷道为抢险路线为好．……………………………12分 （19）解：（Ⅰ）取中点，连接，. ∵为中点，∴∥，又⊥平面，∴⊥平面， ∴ ．……………………………2分 ∵为正三角形，∴， 又，∴⊥平面， 又∵平面， ∴． ……………4分 （Ⅱ）以O为原点，以，，的方向分别为轴， 轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意 ， ．…………………6分 设， 则． 要使直线平面，只要 即，解得． ……………………………8分 ∴的坐标为． ∴当为线段的中点时，平面．……………………………9分 （Ⅲ）取线段的中点，则，易知平面， 故为平面的一个法向量．……………………………10分 又由（II）知为平面的一个法向量． ………………11分 设二面角的平面角为，则 ． ∴二面角 的余弦值为． ……………………………12分 （20）解：（Ⅰ）因为在抛物线上， 所以， ， 同理，依题有，因为， 所以． ………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ………………………5分 设的方程为，即， 到的距离为， ，………………………7分 所以 ， ………………………9分 令，由，，可知． ，……………………10分 因为为偶函数，只考虑的情况， 记，，故在是单调增函数， 故的最大值为 ∴． ………………………12分 （21）（Ⅰ）证明：，则， 设，则， ………………………2分 当时，，即为增函数， 所以， 即在时为增函数，所以． ………………………4分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知时，，， 所以， ………………………6分 设，则， 设，则， 当时，所以为增函数， 所以，所以为增函数，所以， 所以对任意的恒成立. ………………………8分 又，时，， 所以时对任意的恒成立. ………………………9分 当时，设，则， ，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数， 所以在时，所以时不符合题意. 综上，实数的取值范围为. …………………………12分 （Ⅱ）解法二：因为等价于…………6分 设，则 可求， ……………………………8分 所以当时，恒成立，在是增函数， 所以，即，即 所以时，对任意恒成立．………………………9分 当时，一定存在，满足在时，， 所以在是减函数，此时一定有， 即，即，不符合题意，故不能满足题意， 综上所述，时，对任意恒成立．…………12分 （22）解：（Ⅰ）连接，，是直径，则， 由∥，得， ∴是的中垂线，………………2分 ∴，， ∴ ， ∴，所以是圆的切线. ．………………………5分 （Ⅱ）∵∥，∴，， ∴∽，∵， ∴， ………………………8分 ∴， ∴， ∴． …