四种命题（第二课时）.doc

学科：数学 教学内容：四种命题（第二课时） 【学习目标】 1．进一步掌握四种命题的关系． 2．了解正难则反的逻辑思维形式． 3．初步掌握反证法，明确其证明思路和语言格式． 【学习障碍】 1．在写否命题时，对于关键词的否定仍不够熟练． 2．在反证法中，有些同学往往反设不正确，以致整个题做错． 3．在反证法中，哪些题适用、如何找矛盾、与谁矛盾，仍是学生的一大难点． 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．预习课本P32～33． 2．本课时的重点是反证法；难点是用反证法证明命题． 本课时涉及的知识点有如下两个： (1)反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法． (2)反证法证明命题的一般步骤如下： (ⅰ)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (ⅱ)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (ⅲ)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． Ⅱ．知识拓宽 用逻辑知识解释反证法： 从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p则非q”为假，因此可知“若p则q”为真，像这样证明“若p则q”为真的证法叫反证法． 用反证法证明：若p则q时，可能出现以下三种情况： ①导出非p为真，即与原命题的条件矛盾． ②导出q为真，即与假设非q为真矛盾． ③导出一个恒假命题． Ⅲ．障碍分析 1．如何灵活掌握原命题与逆否命题的等价关系？ 对于常见关键词的否定应熟悉(见上节表格)．另外还应根据题设环境选择到底用什么，如：“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”． 2．如何使用反证法？ 准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，否则推理论证就劳而无功．现将一些常用的“结论的否定形式”举例如下表： 原结论词 反设词 原结论词 反设词 是 不是 至少一个 没有一个 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 小于或等于 至少有n个 至多有n－1个 小于 大于或等于 至多有n个 至少有n＋1个 对所有x都成立 存在某x不成立 p或q p且q 对任给x不成立 存在某x成立 p且q p或q ［例1］用反证法证明：三角形的外角大于和它不相邻的任一内角． 思路：根据初中的知识，先写出已知，求证，作出图，然后否定所证结论，推出矛盾． 已知：如图1—25：在△ABC中，∠ACD是外角． 求证：∠ACD＞∠BAC． 证明：假设∠ACD不大于∠BAC． 即∠ACD＝∠BAC或∠ACD＜∠BAC 若∠ACD＝∠BAC，则由∠BAC与∠ACD互为内错角知：AB∥CD，即AB、CD不相交，与已知A、B、C是一个三角形的三个顶点相矛盾． 若∠ACD＜∠BAC，则在BC之间存在点B′，使得∠B′AC＝∠ACD，从△AB′C来看，又出现前面类似的矛盾． 所以假设不成立，即原命题成立． 点评：1．∠ACD＞∠BAC的反设是∠ACD≤∠BAC而不是∠ACD＜∠BAC． 2．如果结论的否定事项不止一个时，就必须将结论的所有否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题成立，这种反证法叫穷举法． 3．哪些题适合用反证法？如何找矛盾？与谁矛盾？ (1)一般，下列命题宜用反证法． ①结论本身是以否定形式出现的； ②关于惟一性，存在性命题； ③有关结论是以“至多”或“至少”的形式出现的； ④结论的反面是比原结论更具体，更容易研究和掌握的命题． (2)在反证法的第二步中，把反设作为条件，进行逻辑推理，得出矛盾，这里的“矛盾”可以是下列矛盾之一． ①归引到与已知矛盾； ②归引到与假设矛盾； ③归引到与已知定义、定理、公理相矛盾； ④归引到证明过程中的自相矛盾； ⑤归引到与作图相矛盾． ［例2］若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个不大于零． 思路：显然由于条件不容易推出结论，可考虑用反证法，先正确地作出反设，即“a≤0，b≤0，c≤0”，再推出矛盾． 证明：假设a，b，c都不大于0，即：a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0． 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3 ∵π－3＞0 无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0 ∴a＋b＋c＞0，与a＋b＋c≤0矛盾． ∴a，b，c中至少有一个大于0． 点评：①涉及至多，至少等问题时，往往考虑采用反证法． ②在代数变形中，经常进行因式分解或配方． ③由假设进行推理中，因选用的条件不同，得出的矛盾可能也就不同．矛盾是在推理过程中产生的，而不是在推理之前设计或确定． Ⅳ．思维拓展 ［例3］已知：l1，l2，l是同一平面内的三条直线，l1是l的垂线，l2是l的斜线．(如图1—26)． 求证：l1和l2必相交． 思路：这是平面几何