数学科教材教法比正反比-淡江大学教职员Internet服务系统.DOC

PAGE PAGE 21 ~比、正反比之本質概念目錄~ 壹.數 學 結 構…………………………………………………………2 一、「比」的定義…………………………………………………2 二、「比」的表示方法……………………………………………2 三、「比」的分類…………………………………………………2 四、「比」的等價（相等）………………………………………3 五、整數比與最簡單整數比………………………………………3 六、對等關係（比）的量化：比值………………………………4 七、對等問題的分類………………………………………………4 八、比例的意義……………………………………………………7 九、比例尺的意義及表示法………………………………………9 貳.認知結構……………………………………………………………10 參.教學策略……………………………………………………………14 一、對等問題與分數運算的解題工具：成比例線段圖、比例關係圖 二、「比」的描述與比較…………………………………………16 三、最簡單整數比 ………………………………………………17 四、比值問題………………………………………………………18 五、對等問題-「分數對整數的對等問題」之「整數倍轉換」………19 六、帶分數的分數倍問題-：3與2：5……………………………19 七、正比例和反比例………………………………………………19 八、兩數關係的判別………………………………………………20 九、倒數問題………………………………………………………20 十、「比」的教學策略歸納…………………………………………21 十一、比與比值概念形成的學習情境電腦化設計………………22 肆.參考資料……………………………………………………………33 數學科教材教法 ~比、正反比之本質概念~ 張嘉群、劉昭堂 壹.數 學 結 構 一、「比」的定義 對等關係就是一種比的概念。對等關係是指兩數量A、B之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量是A與B有對等關係。例如小明的黏土是2塊重2公斤，小花的黏土是5塊重8公斤，而小華的黏土是7公尺重10公斤，…。上述各個例子的描述，皆產生一個對等關係，2塊對2公斤，5塊對8公斤，7塊對10公斤，…。若採用「比」的符號「：」，來記錄這些對等關係，便可記成「2：2」、「5：8」及「7：10」等等。 二、「比」的表示方法 紀錄A與B之間數量對等關係的方法 用序數表示：（A，B） 用「比」的符號表示：「A：B」 用「比值」表示： 三、「比」的分類 依據情境（語意）的不同，對等關係可以分為下列四類： （1）組合關係：若兩數量A及B為同類量（被測量的性質相同），且A與B都是同一全體量中的部分時，可稱為一種組合的對等關係，例如：一種親子遊戲中3個小孩，需要2個大人來協助。 （2）母子關係：若此兩數量為同類量，且一數量是全體量，另一數量是全體量的部分量時，可稱為一種母子的對等關係，例如：一打襯衫有12件，其中有4件是藍色的。 （3）交換關係：若A、B分別描述兩個（堆）物件，於某種因素（性質），使這兩個（堆）物件具有相同的價值，可以交換，而形成A與B的對等關係，則可稱為一種交換的對等關係，例如：小華盒了135本雜誌到圖書館換了9本小說。 （4）密度關係：若A、B不為同類量，且此兩數量是描述同一物件的不同性質，A、B的比值是做為密度的描述時，A與B的關係，可稱為一種密度的對等關係，例如：30立方公分的水重30公克。 在「母子對等關係」中，其比的比值根據不同情境的文化術語會給不同的「率」之名稱，如佔有率、打擊率、命中率、重疊率…等。例如小華投籃球，投進了10球，共投40球，我們說他的命中率是0.25。如果把這個對等關係(比)的後項看成(假設)是100，那與原對等關係(比)等價而後項是100的對等關係之前項之值即為百分比或百分數，例如前述小華如果有相同的水準，頭100次他應該可以進25次，如果用百分數表示為百分之25，記為25%。所以25%也是用來表示小華的命中率，我們稱小華的命中率用百分數來表示為25%。 四、「比」的等價（相等） 比的等價是指：一個對等關係（A：B）的前項（A）與後項（B）同成（除）以一數時，則產生另一個等價的對等關係（比），例如（（4除以2）2：3（6除以2）＝4：6＝（4乘以2）8：12（6乘以2））；或者，當使用比值來描述一個對等關係時，兩個比值相等的對等關係是等價的對等關係（比）；採用在量情境中討論，它們是相同的交換方式，相同的組合方式，相同的含量或相同的密度，來引入比的等價（相等）。例如張三的鐵線是10公尺重10公斤，某甲的鐵線長15公尺重15公斤，兩人的鐵線每1公尺的重都是1公斤，而把兩個對等關係的等價關係記成「10：10＝15：1