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基于微分学两个重要极限再研究 　　摘 要：通过对“无穷大”与“无穷小”进行形象化描述来理解这组概念，从而为分析“两个重要极限”奠定基础。本文简要说明了在第一重要极限中源何不采用不定式极限运算法则，并对两个重要极限进行分析讨论（软件仿真），进而实现对该理论的系统性理解。 　　关键词：无穷大；无穷小；两个重要极限；欧拉法则 　　中图分类号：017 文献标识码：A一、无穷大与无穷小 　　1 无穷大与无穷小的定义及说明 　　在此给出无穷大与无穷小的另外一种定义形式。 　　无穷大：绝对值无限增大的一类特殊变量。 　　我们对无穷大进行如下说明：1）无穷大量是具有非正常极限的函数，例： 是 　　时的无穷大量；2）无穷大量实质上是变量极限不存在的一种形式。 　　无穷小：极限为零的一类特殊变量。 　　理解无穷小时，要注意两点：1）无穷小量是有界量；2）无穷小量≠负无穷大量。尤其是后者，初学时很容易混淆这两个概念。 　　2 无穷大与无穷小的形象化理解 　　下面我们通过两例来形象化地理解无穷大与无穷小的概念： 　　1）以《文始真经》（第八卷八筹篇）中“关尹子”的话为例来体味：是道也，其来无今，其往无古；其高无盖，其低无载；其大无外，其小无内；其本无一，其末无多；其外无物，其内无人；其近无我，其远无彼。不可析，不可合，不可喻，不可思，惟其混沌，所以为道。 　　其中有“其大无外，其小无内”是在讲道，“其”包括所有。不妨通过“其大无外，其小无内”来理解“无穷大”和“无穷小”这两个概念：无穷大，大至无外；无穷小，小至无内。即：向外扩展，没有外限；向内收缩，没有内限。体现出动态变化的思想，进而也能体会出无穷大量与无穷小量是一对变量。 　　2）以一则故事来体味：两个小朋友在一起斗嘴，甲说：“我有一个苹果”。乙说：“我有两个”。甲说：“我有三个”。乙说：“我有四个”。……甲说：“我有一万个”。乙说：“我有十万个”。这时，甲生气了，对乙说：“不管你有多少，我都比你多！”此刻甲向乙传达出的就是无穷大的数学概念！（若将“不管你有多少，我都比你多！”改为“不管你有多少，我都比你多一个！”传达出的就不是无穷大的概念了。） 　　3 无穷小量代换的分析及优越性 　　在极限的运算中，无穷小量代换成为解题中经常用到的一个技巧，极大地缩减了运算量，体现出其特有的优越性。 　　等价无穷小量代换：设当 时，f与 g均为无穷小量，若 ，则称f与g是 　　在极限运算中，经常会用到以下等价无穷小代换：当 时 　　我们来对上述其中之一 　　进行剖析： 时， ，即： 。大家学习不定式极限运算法则后，会习惯性地采用不同于“夹逼准则”的另外一种证明方法： 　　证明：根据不定式极限运算法则（“欧拉法则”）得： 　　，即：当 时， 。 　　故： ，∴得证！ 　　乍眼一看，似乎此法要比夹逼准则简单明了，但对吗？为什么？ 　　下面我们会给出细致的分析：上述证明中用不定式极限运算法则时，用到了 　　能不能这样呢？显然不能，因为在 　　的证明中就要用到 。所以，若通过不 　　定式极限运算法则来证明 ，就犯了逻辑性错误！ 　　上述我们介绍了等价无穷小代换，那么在极限的运算中它能否体现出其特有的优越性来呢？运用等价无穷小代换，可以明显缩减运算量。以下面的题目为例，来对比两种方法，进而掌握等价无穷小代换在极限运算中的应用方法。 　　例：求 　　解：方法1 （利用不定式极限运算法则：“欧拉法则”） 　　原式 　　方法2 （利用等价无穷小量代换） 　　原式 ∴解毕！ 　　二、两个重要极限及其探索分析 　　两个重要极限：1） 2） 　　证明：1）如图1所示，由 　　得： ，即： 。 　　进而 。 　　由“夹逼准则”得： 。( 注：其中用“ ”来表示圆弧AOB。) 　　证明：2）①、当X取正整数 时，设 ，则： 　　同理： 　　显然有 ，又 　　单调增有上界，故根据极限存在法则得 的极限存在，取该极限为e，数e为无理数（待证）。 　　② ，有 ， 　　∴ 　　根据“夹逼准则”有 　　同理对于 采用负代换即证，故 。∴得证！ 　　2 对e进行探索及仿真分析 　　前面我们用符号e来表示函数的极限，那么e到底是有理数还是无理数？e向何处去？ 　　2.1 e是无理数还是有理数？ 　　证明：e为无理数。 　　证：假设e是有理数，则有： 　　两边同乘以b!并移项，得： 　　备注： 　　由此产生一个明显的矛盾：正整数小于1，因此e不是有理数，而e又是实数，故e为无理数！ 　　∴得证！ 　　问题：e向何处去？ 。 　　函数 为单调递增函数且有上界， 　　故其极限存在，即：随x增大越接近该极限值，我们通常所知的e值就是由此而来的。 　　2.2 对 进行软件仿真 　　图2 C程序仿真实现 　　结论 　　通过证明我们可以发现大部分微分学公式都