2.4-状态空间模型线性变换和约旦规范形1.ppt

约旦规范形及其计算(11/16)—例2-10 4. 计算各矩阵 约旦规范形及其计算(12/16)—例2-10 5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为 约旦规范形及其计算(13/16) 对前面讨论的特殊矩阵--友矩阵,它的广义特征向量的快速计算方法为: 当特征值为?i时,其对应的特征向量和广义特征向量分别为 约旦规范形及其计算(14/16)—例2-11 解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 ?1=-1 ?2=?3=-2 其中mi为该特征值的代数重数。 该结论可由广义特征向量和友矩阵的定义证明。 例2-11 试将下列状态空间模型变换为约旦规范形 约旦规范形及其计算(15/16)—例2-11 3. 计算各矩阵 2. 由于A为友矩阵,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为 约旦规范形及其计算(16/16)-例2-11 4. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为 广义特征向量和特征向量链(8/12)—例2-7 即 由于 n-rank(?1I-A)=3-1=2 因此,该特征值应有2个独立特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。 由于该重特征值的几何重数 (小于) 代数重数，因此存在广义特征向量。 解之得如下特征向量的通解式 v1=[v11 v12 -(v11+v12)/2]? 广义特征向量和特征向量链(9/12)—例2-7 分别令两组独立的{v11 v12}即可求得三重特征值?1的两个线性独立的特征向量。 三重特征值-1只有两个线性独立特征向量, 其几何重数为2。 因此,重特征值-1的两个独立特征向量中有一个一定存在 广义特征向量。 下面通过求广义特征向量来辅助决定选取合适的v11和v12。 v1=[v11 v12 -(v11+v12)/2]? 广义特征向量和特征向量链(10/12)—例2-7 3. 计算对应于特征向量的广义特征向量和特征向量链。 按定义式(2-51),特征向量v1的广义特征向量v1,2满足 (?1I-A)v1,2=-v1 即 因此, 根据方程的可解性,存在广义特征向量的特征向量v1中的v11和v12满足 v11=-3v12 3倍关系 v1=[v11 v12 -(v11+v12)/2]? 广义特征向量和特征向量链(11/12)—例2-7 此时的广义特征向量的解为 v1,2= [r1 r2 -(r1+r2-v12)/2]? 其中r1和r2为任意数。 因此存在广义特征向量的特征向量v1为和其对应的广义特征向量可以分别取为 v1=[v11 v12 -(v11+v12)/2]? =[-3v12 v12 v12]? =[1 -1/3 -1/3]? v1,2=[r1 r2 -(r1+r2-v12)/2]? =[1 2/3 -1]? 广义特征向量和特征向量链(12/12)—例2-7 另外一个不存在广义特征向量的三重特征值?1的特征向量为 v2=[v11 v12 -(v11+v12)/2]?=[1 0 -1/2]? 本例共求得3个特征向量和广义特征向量。 由于矩阵A的维数为3?3,因此对应于上述特征向量和广义特征向量,已不存在其他广义特征向量。 故特征值?1对应于特征向量v1的特征向量链为v1和v1,2。 化状态方程为对角线规范形(1/12) 2.4.3 化状态方程为对角线规范形 对角线规范形是指系统矩阵A为对角线矩阵的一类状态空间模型。 对于该类状态空间模型,由于在系统分析和综合时,清晰直观,使问题得以简化 该类系统可简化成n个一阶惯性环节的并联 故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态空间模型。 任何具有n个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状态变换变换成对角线规范形。 该结论可详细地并构造性地证明如下。 化状态方程为对角线规范形(2/12) 结论 已知线性定常系统的状态方程为 其中系统矩阵 若A的n个特征值?1,?2,…,?n所对应的特征向量线性独立,则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P 后为对角线规范形,即系统的状态方程为 为对角线矩阵,并且变换矩阵P可取为 P=[p1 p2 … pn] 其中pi为矩阵A对应于特征值?i的特征向量。 三、化状态方程为对角线规范形(3/12) 证明 若pi为对应与特征值?i的独立特征向量,则必有 Api=?ipi 因此有 [Ap1 Ap2 … Apn]=[?1p1 ?2p2 … ?npn] 对上式两边分别有 [Ap1 Ap2 … Apn]=A[p1 p2 … pn]=AP 化状态方程为对角线规范形(4/12) 故 AP=Pdiag{?1 ?2 … ?n} 即 P-1AP=diag{?1 ?2 … ?n} 即证明了结论。