北语13秋《概率论与数理统计》导学资料四(第七篇到第九篇).doc

北京语言大学网络教育学院 2013-2014学年 第一学期 上北语网院 进世界学堂 Page 1 of 1 北语13秋《概率论与数理统计》第四阶段导学 本阶段学习内容概述 本阶段学习内容包括了教材的第七章、第八章和第九章。 第七章是假设检验，其基本内容包括假设检验的基本方法和两类错误、检验总体均值、检验正态总体方差-的检验和检验、分布的假设检验。第八章是方差分析，具体内容包括单因素方差分析和双因素方差分析。第九章是回归分析，内容涉及到相关关系概述及最小二乘法、一元线性回归方程、线性相关关系显著性检验、根据回归方程进行预测、可线性化的一元非线性回归以及多元线性回归。 二、重难点讲解 (一)单个正态总体方差的检验 设为来自正态总体N(,)的样本，和皆未知。给定显著性水平，且设为给定的常数，我们要检验 我们知道样本方差是 的一个无偏估计，于是，当原假设成立时，和应比较接近，即比值/应比较接近于1。因此，这个比值过大或过小都是我们拒绝原假设的理由。在原假设下 ,???????????????????? (1.1) 取它为检验统计量，一个直观上合理的检验是当 或 时，拒绝原理假设。这里c1和c2由显著性水平来确定。为简单计，可取 , 于是，检验的拒绝域为 或??????????????? (1.2) ? 如果我们要检验假设, 那么，当原假设成立时，,因此, 也倾向比较小，根据(8.3.1)，一个直观上合理的检验应当是，当 时，拒绝原假设，于是对给定的显著性水平a，检验的拒绝域为 ??????????????????????? (1.3) 上面这两个检验都用到了分布，文献中把这类检验通称为检验。 例1 某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布。该公司称它的标准差为厘米，现随机抽取5个部件，测得它们的直径为1.32，1.55,?? 1.36,? 1.40,? 1.44 (取)。问： (1)我们能否认为该公司生产的发动机部件的直径的标准差确实为厘米吗？(2)我们能否认为? 解 ??(1)本题要求下检验假设 , 这里，。 另一方面，计算得。因为 , 由(1.2)知，我们应该拒绝，即认为发动机部件的直径标准差不是0.048厘米。 (2)本题要求在水平下检验假设 查表知。因为 , 于是，由(1.3))知，我们应该拒绝原假设，即认为发动机原部件的直径标准差超过了0.048. ? (二)两个正态总体方差比的检验 设有两个正态总体和，我们欲检验 。 现在从这两个总体中分别抽取样本和，它们是相互独立的。分别以和记它们的样本方差。直观上，/是/ 的一个估计，当原假设成 立时，后者等于1，作为它们的估计，/也应与1相差不远。因此，一个直观上合理的拒绝域应为 或??????????????????????????????? (2.1) 和应根据显著性水平和/的分布来确定。由基本定理知 它们相互独立，于是 因而，当原假设成立时，从＝可知 /～ 据此，我们可以选择显著性水平的检验的拒绝域为 ?? (2.2) 通过类似的讨论，读者不难导出检验问题 . 显著性水平为的检验的拒绝域为 ??????????????????? (2.3) 上面这两个检验都用到了分布，文献中把它以及类似的检验通称为检验。 例2 甲、乙两厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产品中分别随机抽取12个和10个样品，测得它们的电阻值后，计算出样本方差分别为＝1.40, =5.38。假设电阻值服从正态分布，在显著性水平下，我们是否可以认为两厂生产的电阻阻值的方差： (1) =;??? (2) ≤ 解 ?(1)该问题即检验假设： ? 因为从(2.2)知，我们需要计算，但一般分布表中查不到这个值。利用F分布的性质有 , 而 , 因此(2.2)的第一个不等式成立，所以，我们拒绝原假设，即认为两厂生产的电阻阻值的方差不同。 (2)我们需要查的值，但是在普通的分布表中，查不到这个值。于是我们用的平均值作为它的近似，故有 ????????? ???????????????? ??＝ 但是，/＝0.263.105，于是，我们接受原假设，即认为甲厂生产的电阻的阻值的方差(即波动性)较小。 (三)单因素方差分析 例3 ?用四种不同的生产工艺生产同种产品，从所生产的产品中各取3个，测定其长度，所得结果如表1，试分析产品的长度是否有显著差异. 表1 生产工艺 产 品 长 度（cm） 25.6??????26.4??????27.0 25.8??????24.5??????23.4 27.5??????25.3??????26.7 28.2??????29.4??