数理统计(研究生课程)：第一章基本概念和抽样分布.ppt

30. ?2变量的可加性 要用到独立随机变量和的卷积公式和Γ(x) 的性质。 =2 n 应用Lindeberg中心极限定理可得： 40. 极限分布 记为T～t(n). 设X～N(0,1) , Y～ ? 2(n), 且相互独立，则称随机变量 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布，也称为t变量. 3. t －分布 (1). 定义: (2). T变量的密度函数为： 10. T ～ t(n)为具有自由度为n的t分布的随机变量，则T的数字特征具有如下性质： 当 n =1时， T ～ t(n)实际上是柯西分布，任何阶矩均不存在； (3). T变量的性质： 当n 2， E(T)=0; D(T)=n / (n-2) . 事实上 当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形. t分布的密度函数关于x=0对称，是偶函数，且 应用Γ函数的性质及司特林(Stirling)公式得： 30. 极限分布 当n充分大时，t 分布近似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分布相差很大. 由定义可见， 服从自由度为n1及 n2 的F－分布，n1称为第一自由度， n2称为第二自由度，记作 F～F(n1, n2) . ～F(n2, n1) 4. F－分布 (1). 定义 也称为F变量 下 页 上 页 返 回 第一章基本概念与抽样分布 一、基本概念 二、统计量 三、抽样分布 四、抽样分布定理 五、分位点 一、基本概念 1. 总体 总体中每个成员称为个体. 一个统计问题总有它明确的研究对象. 研究对象的全体称为总体(母体)， … 研究某批灯泡的质量 总体 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体. 某批 灯泡的寿命 该批灯泡寿命的全体就是总体 国产轿车每公里 的耗油量 国产轿车每公里耗油量的全体就是总体 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布. 这样 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 统计中，总体这个概念的要旨是： 总体就是一个随机变(向)量或其概率分布. 数理统计研究的内容： 总体相应随机变(向)量的概率分布及数字特征. 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量. 2. 样本 从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验 样本容量为 5 (1). 抽样、样本、样本值 但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 . 样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的 容量为n的样本可以看作n维随机向量. 样本具有两重性： 10. 随机性 样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。 20. 相对确定性 经过一次抽样否，样本(X1,X2,…,Xn)又是一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面三点: 10.随机性： X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。 20.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布； 30.独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每个样本值互不干扰。 (2). 简单随机样本 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个随机变量X1,X2,…,Xn表示. 简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本. 数学定义： n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布(X与同分布)，则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称为样本. 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量. 3. 总体、样本、样本值的关系 总体（理论分布） ？ 样