2013版《6年高考4年模拟》第八篇-立体几何-第三节-空间向量在立体几何中运用.doc

【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》 第三节 空间向量在立体几何中的应用 第一部分 六年高考荟萃 2012年高考题 1.[2012·广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 图1－5 证明：(1)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(PC⊥平面BDE,BD?平面BDE))?PC⊥BD.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD))?PA⊥BD. ∵PA∩PC＝P，PA?平面PAC，PC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC. (2)法一：如图所示，记BD与AC的交点为F，连接EF. 由PC⊥平面BDE，BE?平面BDE，EF?平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥EF. 即∠BEF为二面角B－PC－A的平面角．由(1)可得BD⊥AC，所以矩形ABCD为正方形，AB＝AD＝2，AC＝BD＝2eq \r(2)，FC＝BF＝eq \r(2).在Rt△PAC中，PA＝1，PC＝eq \r(PA2＋AC2)＝3， 即二面角B－PC－A的正切值为3. 法二：以A为原点，eq \o(AB,\s\up6(→))、eq \o(AD,\s\up6(→))、eq \o(AP,\s\up6(→))的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 设AB＝b，则：A(0,0,0)，B(b,0,0)，C(b,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． 于是eq \o(PC,\s\up6(→))＝(b,2，－1)，eq \o(DB,\s\up6(→))＝(b，－2,0)．因为PC⊥DB，所以eq \o(PC,\s\up6(→))·eq \o(DB,\s\up6(→))＝b2－4＝0， 从而b＝2.结合(1)可得eq \o(DB,\s\up6(→))＝(2，－2,0)是平面APC的法向量． 现设n＝(x，y，z)是平面BPC的法向量，则n⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，n⊥eq \o(PC,\s\up6(→))，即n·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0，n·eq \o(PC,\s\up6(→))＝0. 因为eq \o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq \o(PC,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，所以2y＝0,2x－z＝0. 取x＝1，则z＝2，n＝(1,0,2)．令θ＝〈n，eq \o(DB,\s\up6(→))〉，则 cosθ＝eq \f(n·\o(DB,\s\up6(→)),|n||\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(5)·2\r(2))＝eq \f(1,\r(10))，sinθ＝eq \f(3,\r(10))，tanθ＝3. 由图可得二面角B－PC－A的正切值为3. 2. [2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图1－8(2)．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？ 图1－9 解：(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD， 所以DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥ 所以A1C⊥平面BCDE (2)如右图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz， 则A1(0,0,2eq \r(3))，D(0,2,0)，M(0,1，eq \r(3))，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·eq \o(A1B,\s\up6(→))＝0，n·eq \o(BE,\s\up6(→))＝0.又eq \o(A1B,\s\up6(→))＝(3,0，－2eq \r(3))，eq \o(BE,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2\r(3)z＝0，,－x＋2y＝0.))令y＝1，则x＝2，z＝eq \r(3)，所以n＝(2,1，eq \r(3))． 设CM与平面A1BE所成的角为θ，因为eq \o(CM,\s\up6(→))＝(0,1，eq \r(3))， 所以sinθ＝|cos(n，eq \o(CM,\s\up6(→)))|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\a