17.凸函数与其应用.doc

学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS PAGE PAGE 19 编号 学士学位论文 凸函数及其应用 学生姓名： 艾木拉姑丽·吐尔逊 学 号： 20060101025 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-1班 指导教师： 托乎提·塞都拉 完成日期： 2011 年 5 月 10 日 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS 摘要 函数凸是一种非常重要的函数.它是研究函数，作出函数图象的基础，因此论文中首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，然后讨论凸函数的充要条件或充分条件.提出凸函数的9种常用的判别法，并给出每一个定理的证明，最后应用凸函数概念证明几个重要不等式. 关键词：有界；单调；连续；可导；凸函数；定理；条件；不等式； 目 录 TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _Toc292784873 摘要 PAGEREF _Toc292784873 \h 1 HYPERLINK \l _Toc292784874 引言 PAGEREF _Toc292784874 \h 1 HYPERLINK \l _Toc292784875 1.凸函数的定义与几何意义 PAGEREF _Toc292784875 \h 1 HYPERLINK \l _Toc292784876 2.凸函数的判别法 PAGEREF _Toc292784876 \h 3 HYPERLINK \l _Toc292784877 定理1 PAGEREF _Toc292784877 \h 3 HYPERLINK \l _Toc292784878 定理2 PAGEREF _Toc292784878 \h 4 HYPERLINK \l _Toc292784879 定理3 PAGEREF _Toc292784879 \h 5 HYPERLINK \l _Toc292784880 定理4 PAGEREF _Toc292784880 \h 6 HYPERLINK \l _Toc292784881 定理5 PAGEREF _Toc292784881 \h 6 HYPERLINK \l _Toc292784882 定理6 PAGEREF _Toc292784882 \h 8 HYPERLINK \l _Toc292784883 定理7 PAGEREF _Toc292784883 \h 9 HYPERLINK \l _Toc292784884 定理8 PAGEREF _Toc292784884 \h 9 HYPERLINK \l _Toc292784885 定理9 PAGEREF _Toc292784885 \h 10 HYPERLINK \l _Toc292784886 3.凸函数的应用 PAGEREF _Toc292784886 \h 11 HYPERLINK \l _Toc292784887 总结 PAGEREF _Toc292784887 \h 17 HYPERLINK \l _Toc292784888 参考文献 PAGEREF _Toc292784888 \h 18 HYPERLINK \l _Toc292784889 致谢 PAGEREF _Toc292784889 \h 19 引言 讨论函数的性态，仅仅知道函数在区间严格增加还不够.因为函数在区间严格增加还有不同的方式.函数的凹，凸性是研究函数性质（形态）的重要方法，且证明有些不等式的有力工具. 为了掌握好函数的所有性质，首先要讨论函数凸性的充分条件与充要条件，因此本文中提出了凸函数的几种常用的判别法. 1.凸函数的定义与几何意义 设函数在区间I上有定义、从几何上来看、若的图像上任意两点和之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上）、则称该函数是凸（凹）.参见图1.这个概念用解析的语言可以表述成 定义1； 定义2：设函数在开区间有定义，若 〈1〉则称在区间是下凸函数或简称函数在区间是凸的﹒ 则则不等式〈1〉可以改写为 这就是凸函数的另一种定义﹒ 凸函数的几何意义： 当时点 表示了区间中的某一点，即﹒在下图中弦的方程是： 将代入上式得 图1但因此不等式〈1〉在几何上表示为也就是说，曲线 图1 在弦下方，呈现为下