参数方程 -第一讲 曲线的参数方程.doc

主题2 参数方程 第一讲 曲线的参数方程 课标考纲解读 通过分析抛射体运动中时间与运动物体位置的关系，了解参数方程，了解参数的意义。 能够进行参数方程与普通方程的互化。 考点知识清单 参数方程的概念 ⑴在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{, 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的______，联系变数x,y的变数t叫做______，简称______。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_____。 ⑵______是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有_____意义或_____意义的变数，也可以是_____的变数。 2、参数方程和普通方程的互化 ⑴曲线的_____和_____是曲线方程的不同形式。 ⑵在参数方程与普通方程的互化中必须使_____保持一致。 例题及母题迁移 [例1]设质点沿原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为 rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。[解析]显然点M的坐标x,y随着∠AOM的变化而变化，直接写出x与y的关系式有困难，选一个新的变数θ=∠AOM，用θ将坐标x,y表示出来，再找θ与t的关系。 [答案]解:如图2﹣1﹣1所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0.设动点M(x,y)对应时刻t,由图可知{，又θ=t （t以s为单位）,得参数方程{() [母题迁移]1、当θ变化时，由点P(2cosθ,3sinθ)所确定的曲线的参数方程是（ ） A{ B{ C{ D{ [例2]设飞机一匀速v=150m/s做水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度） ⑴求炸弹离开飞机后的轨迹方程; ⑵飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标 [答案]解：⑴如图2﹣1﹣2所示，A为投弹点，坐标为（0,588），B为目标，坐标为（x0, 0）.记炸弹飞行的时间为t，在A点t=0.设M(X,Y)为飞行曲线上任意一点，它对应时刻t.炸弹初速度v0 =1500m/s，得 {即{ ⑵炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y=0,即588－4.9t02=0，解得t0=2由此得x0=150×2=300≈1643（m）即飞机在离目标1643m（水平距离）处投弹才能击中目标。 [母题迁移]2、设Q（x1,y1）是单位圆x2+y2=1上一个动点，则动点P(x12-y12, x1,y1)的轨迹方程是（ ） A{ B{ C{ D{ [例3]将下列参数方程化为普通方程，并说明曲线类型 ⑴{ ⑵{ ⑶{ ⑷{ [答案]解: ⑴∵0≤θ≤ ∴{ x2＋y2=9cos2θ＋9sin2θ=9，即x2＋y2=9(0≤x≤3, 0≤y≤3),即四分之一圆。 ⑵∵π≤t≤2π，∴-2≤x≤2，-2≤y≤0 ∴x2＋y2=4（-2≤x≤2，-2≤y≤0），即下半圆。 ⑶∵﹙x-3﹚2＋﹙y-2﹚2=152cos2θ＋152sin2θ=152 ∴﹙x-3﹚2＋﹙y-2﹚2=225,它是以（3,2）为圆心，以15为半径的圆。 = 4 \* GB2 ⑷，，它是中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆。 [母题迁移]3、直线系xcosθ +ysinθ =2,圆的参数方程为{，则直线方程与圆的位置关系为( ) A.相交不过圆心 B.相交且经过圆心 C.相切 D.相离 [例4]已知圆的方程为x2＋y2=2x，写出它的参数方程 [答案]解: x2＋y2=2x的标准方程为（x-1）2＋y2=1，设x-1= cosθ,y=sinθ， 则{即为所求的参数方程 [母题迁移]4、已知参数方程①{ ②{ ③{ ④{ 其中是方程xy=1的参数方程的是_____（只填序号） [例5]如图2-1-3，设矩形ABCD的顶点C坐标（4,4），点A在圆x2＋y2=9﹙x≥0,y≥0)上移动，且AB,AD两边分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标。 [答案]解:设A﹙3 cosθ,3sinθ﹚﹙0＜θ＜90°﹚则| AB |=4-3 cosθ, |AD|=4-3sinθ, ∴S=| AB |·|AD|=﹙4-3 cosθ﹚﹙4-3sinθ﹚=16-12﹙cosθ＋sinθ﹚＋9 cosθsinθ 令t= cosθ＋sinθ(1＜t≤﹚则2cosθsinθ=t2－1 S=16-12 t＋﹙t2-1)=t2-12t＋=(t-)2＋ ∴t=时，矩形ABCD的面积S取得最小值 此时{ 解得{ 对应点A的坐标(2＋，2－﹚或﹙2－，2＋﹚ [母题迁