乌鲁木齐2012年三模数学-理科答案.doc

2012年高三年级第三次诊断性测验理科数学试题答案 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1页（共7页） 2012年新疆乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选 项 C A D B D C B D C C A B 1．选C.【解析】由题知，∴. 2．选A.【解析】，∴，． 3．选D.【解析】由题知：时，，满足题意；时，由，满足题意． 4．选B.【解析】圆心为，过点的最长弦（直径）斜率为，且最长弦与最短弦垂直，∴过点的最短弦所在直线的斜率为，倾斜角是． 5．选D.【解析】A、B可能出现与相交；C可能出现与相交、异面；由线面垂直的性质可得D正确． 7．选B.【解析】易得外接球的半径，则外接球的体积 ． 8．选D.【解析】由题知：，∴，即：对恒成立，∴从第2项起，以后各项均为正数，故． 9．选C.【解析】画出可行域如图，，可见当时 取最小值，当时取最大值． 10．选C.【解析】由题知：∴故． 11．选A.【解析】由题知的周期为2，所以在上为减函数，故偶函数在上为增函数，因为，所以，.于是，故选A. 12．选B.【解析】设直线的方程为，、，则. 由消去,得，∴ ∴.直线的方程为，将及，代入得， 化简得，∴，直线过点． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．填.【解析】次数在以上（含次）的频率之和为 ，则高一学生的达标率为． 14．填.【解析】易得在等比数列中，，公比，∴． 15．填.【解析】在展开式中，∴由题意得，，. 故． 16．填.【解析】，可设直线，则，∴，点在抛物线上，得，，即，． 三、解答题：共6小题，共70分． 17．（1）设小时后甲船航行到处，，由余弦定理得 （海里）； …6分 （2）由得．设经过小时两船在处相遇， 则在△中，，， 由正弦定理有，∴． …12分 18．（1）取中点，连结. 由题知：，且，， 在△中，边上的高为， 由于，设到平面的距离为， 则 ，∴， 即到平面的距离为； …6分 （2）如图所示，建立空间直角坐标系， 可取为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为． 则，， 其中，， ∴∴ 不妨取，则． ． …12分 19．（1）设购买小区的人数为，则，∴恰有人购买小区房产的概率为； …6分 （2）可能的取值为． 个人购买房产共有种不同方法． ； ； （也可用求解） ∴的分布列为 ∴． …12分 20.（1）设点，则，， 由题知，化简得 ，即是点的轨迹的方程； …6分 （2）设，，，可得 两式相减，得 变形可得,即, 其中表示的中点与坐标原点连线的斜率， 又，∴，∥. 同理，∥，其中为的中点. ∴为的中点. …12分 另解：设，，，则 ……①， ……②， ……③. 由，化为 ，即 ……（*） 若轴，得，由（*）及②可得 ，∴，∴为的中点. 若与轴不垂直，可设其方程为. 由消去，得 ∴，. ， ，代入（*）化简得 ，即，∵，∴. 故过原点，由对称性知为的中点. …12分 21.（1）显然，． 设切点,则,即 ． ∴,又． ∴,易知，故． 由,得． 因此当时, ,于是单调递减； 当时，，于是单调递增． 所以的减区间是,增区间是； …6分 （2）由． 若≤时，，于是在上单调递增，因此不可能有两个零点；若时，易得的减区间是，增区间是． 在上有两解 于是即为所求． …12分 22.选修4-1：几何证明选讲 （1）∵是的切线，是弦，∴． ∵，∴，∴， ∴∥； …5分 （2）∵，又