信息理论和编码课设.docx

（7,4）汉明码的构造原理 1.1汉明码的构造原理 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT 线性分组码是一类重要的纠错码，应用很广泛。在（n，k）分组码中，若监督码元是按线性关系模2相加而得到的，则称其为线性分组码。 现在以（7,4）汉明码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为，，前4位为信息元，后3位是监督元，题设所给的非系统监督矩阵如下： 经过初等行变换，可以获得典型监督矩阵如下： 因此，该汉明码的监督元可以用如下线性方程表示， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1) 显然，这3个方程是线性无关的。代入上述公式可得（7，4）汉明码的全部码组。如表1所示。 表1 （7,4）汉明码的全部码组 信息位 监督位 信息位 监督位 0000 000 1000 011 0001 111 1001 100 0010 110 1010 101 0011 001 1011 010 0100 101 1100 110 0101 010 1101 001 0110 011 1110 000 0111 100 1111 111 由上表可知：（7,4）汉明码的最小码距，它能纠一位错或检2位错。由此可见，汉明码是能够纠正单个错误的线性分组码，其特点是：最小码距，码长n与监督位r满足关系式：。同时，由于码率，故当n很大和r很小时，码率接近1，可见：汉明码是一种高效码。 1.2监督矩阵H和生成矩阵G 1.2.1监督矩阵H 式（1.1）所表示的监督方程可以改写为下式， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2) 从而得到与之对应的矩阵表达式， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3) 并简记为：或者。 其中，H成为监督矩阵，只要H给定，信息位和监督位的关系也就随即确定下来了。H的行数就是监督矩阵的数目，等于监督数目r。H矩阵可以分为两个部分， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4) 其中，P是阶矩阵，是阶单位阵。因为，所以可以用这个关系式来作为判断接收码字A是否出错的依据。若，则说明码字A有错，反之则说明码字A无错。 1.2.2生成矩阵 将（1.1）式的监督方程补充完整并写成矩阵的形式， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5) 即，，其中M为阶信息码矩阵，G为阶矩阵。通过观察可以得出，，其中为阶单位阵，Q为阶矩阵。因此，可以推断典型监督矩阵和基本生成满足下列关系式， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6) 1.3校验子（S） 设一组发送码字，在传输过程中可能产生误码，接收码组，收发码组之差定义为错误图样E， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT