扬州市2012至2013学年度第一学期期末检测试题高三数学及答案.doc

PAGE PAGE 1 扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题 高 三 数 学 2013．01 全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项： 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试． 第 一 部 分 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．若集合，，则M∩N= ▲ ． 2．将复数(是虚数单位)写成，则 ▲ ． 3．已知向量，若，则k等于 ▲ ． 4．已知函数，则 ▲ ． 5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为 ▲ ． 6．设满足约束条件，则的最大值是 ▲ ． 7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ ． 8．已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切，则圆的标准方程为 ▲ ． 9．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若，则， ②若，则, ③若 ④若，则, 其中正确的命题序号是 ▲ ． 10．在中，角所对边的长分别为，且，则 ▲ ． 11．已知函数（）在区间上取得最小值4，则 ▲ ． 12． 如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数的图像上，若点的坐标为），矩形的周长记为，则 ▲ ． 13．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则= ▲ ． 14．数列满足，，且 =2，则的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 已知向量，，函数． （Ⅰ）求的最大值，并求取最大值时的取值集合； （Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥中，⊥平面， 于。 （Ⅰ）证明：平面⊥平面； （Ⅱ）设为线段上一点，若，求证：平面 17．（本小题满分15分） 已知数列的前项和为． （Ⅰ）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式； （Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分15分） 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米． （Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程； （Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？ （注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．） 19．（本小题满分16分） 如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C． （Ⅰ）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率； （Ⅱ）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值； （Ⅲ）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 20．（本小题满分16分） 记函数的导函数为，已知． （Ⅰ）求的值． （Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数使得函数有且只有一个零点？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）若实数和（，且）满足：，试比较与的大小，并加以证明． 第二部分（加试部分） 21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分） 若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵. …………………10分 21．C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分） 已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。 22．（本题满分10分） 在四棱锥中