中科院研究生院机器学-习课程习题.doc

1、考虑回归一个正则化回归问题。在下图中给出了惩罚函数为二次正则函数，当正则化参数C取不同值时，在训练集和测试集上的log似然（mean log-probability）。（10分） （1）说法“随着C的增加，图2中训练集上的log似然永远不会增加”是否正确，并说明理由。 （2）解释当C取较大值时，图2中测试集上的log似然下降的原因。 2、考虑线性回归模型：，训练数据如下图所示。（10分） （1）用极大似然估计参数，并在图（a）中画出模型。（3分） （2）用正则化的极大似然估计参数，即在log似然目标函数中加入正则惩罚函数， 并在图（b）中画出当参数C取很大值时的模型。（3分） （3）在正则化后，高斯分布的方差是变大了、变小了还是不变？（4分） 图(a) 图(b) 2. 考虑二维输入空间点上的回归问题，其中在单位正方形内。训练样本和测试样本在单位正方形中均匀分布，输出模型为，我们用1-10阶多项式特征，采用线性回归模型来学习x与y之间的关系（高阶特征模型包含所有低阶特征），损失函数取平方误差损失。 (1) 现在个样本上，训练1阶、2阶、8阶和10阶特征的模型，然后在一个大规模的独立的测试集上测试，则在下3列中选择合适的模型（可能有多个选项），并解释第3列中你选择的模型为什么测试误差小。（10分） 训练误差最小 训练误差最大 测试误差最小 1阶特征的线性模型 X 2阶特征的线性模型 X 8阶特征的线性模型 X 10阶特征的线性模型 X (2) 现在个样本上，训练1阶、2阶、8阶和10阶特征的模型，然后在一个大规模的独立的测试集上测试，则在下3列中选择合适的模型（可能有多个选项），并解释第3列中你选择的模型为什么测试误差小。（10分） 训练误差最小 训练误差最大 测试误差最小 1阶特征的线性模型 X 2阶特征的线性模型 8阶特征的线性模型 X X 10阶特征的线性模型 X (3) 多项式回归模型的预测误差与训练样本的数目有关。 (T) 3、我们对下图(a)所示的数据采用简化的线性logistic回归模型进行两类分类，即 。 （为了简化，我们不采用偏差。） 训练数据可以被完全分开（训练误差为0，如图1(b)所示的L1）。 (b) 数据点可以被L1 (b) 数据点可以被L1（实线）完全分开。L2、L3和L4是另外几个可能的决策边界。 (a) 2维训练数据。 考虑一个正则化的方法，即最大化 。 注意只有被惩罚。则当C很大时，如图1(b)所示的4个决策边界中， L2、L3和L4 可以通过正则得到吗？ 答：L2不可以。当正则w2时，决策边界对x2的依赖越少，因此决策边界变得更垂直。而图中的L2看起来不正则的结果更水平，因此不可能为惩罚w2得到； L3可以。w2^2相对w1^2更小（表现为斜率更大），虽然该决策对训练数据的log概率变小（有被错分的样本）； L4不可以。当C足够大时，我们会得到完成垂直的决策边界（线 x1 = 0 或x2轴）。L4跑到了x2轴的另一边使得其结果比其对边的结果更差。当中等程度的正则时，我们会得到最佳结果（w2较小）。图中的L4不是最佳结果因此不可能为惩罚w2得到； (2)如果正则项为L1范式，即最大化 。 则随着C增大，下面哪种情形可能出现（单选）？ (a) 将变成0，然后也将变成0。(T) (b) 和将同时变成0。 (c) 将变成0，然后也将变成0。 (d) 两个权重都不会变成0，只是随着C的增大而减小0。 该数据可以被完全正确分类（训练误差为0），且仅看x2的值（w1 = 0）就可以得到。虽然最佳分类器w1可能非0，但随着正则量增大w1会很快接近0。L1正则会使得w1完全为0。随着C的增大，最终w2 会变成0。 4、LDA 现有100个标注好的训练样本（共有两个类），我们训练以下模型： GaussI : 每类一个高斯分布，两个类的方差矩阵均设为单位矩阵I； GaussX: 每类一个高斯分布，但协方差矩阵不做任何约束； LinLog: 线性logistic回归模型（特征的线性组合）； QuadLog: 二次logistic回归模型（所以特征的一次和二次组合）。 训练后，我们用训练集上的平均log似然作为模型性能的度量，并用等式或不等式表示模型间的性能关系，如“model 1 = model 2” 或 “model 1 = model 2” GaussI = LinLog (both have logistic postiriors, and LinLog is the logistic model maximizing the average log probabilities) GaussX = QuadLog (