中学-数学解题方法.doc

中学数学常见解题方法 摘 要：本文讨论了中学数学的若干解题法，如配方法、换元法、定义法、分类 讨论法、函数与方程法. 关键词：数学思想；数学方法；配方法；分类讨论法 Abstract：We discuss some solutions of the cloze test in middle school mathematics , such ： as method of completing square, method of substitution, method of definition, method of category discuss, method of function and equation. Keywords：mathematical thought、mathematical method、method of completing square、 ： method of category discuss 序言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇 到一个新问题，总想着用熟悉的题型去解决，这只能满足于解出来.只有对数学思想、数 学方法理解透彻并能融会贯通时，才能提出新看法、巧解法. 在数学学习中“知识”是基 础， “方法”是手段， “思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法 的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.中学数学特别是期中期末考试题十分重视对 于数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方 法.考试中失分相当严重.这也是我打算研究这个问题的一个因素. 本文主要是通过数学思想方法的应用， 提出了数学题解法的部分技巧.重点强调的 是数学思想方法的掌握和应用.希望引起对解题策略的重视.文中讨论了一些常见的数学题解法.主要引用以下几种有配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、 定义法、函数与方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法. 解题方法即解题技巧，可以帮助答题者以最有效率的方式得到答案.在数学考试题题 量较大时，如何把握解题时间，如何提高解题效率都是很重要的. 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从 而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项” “配”与 、 “凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”. 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方. 配方法使用的最基本的配方依据是完全平方公式 (a + b) = a + 2ab + b， 将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式。 例 ：已知 的小数部分是a,求a+12a+37a+6a的值。 解：a=-3，原式=a+12a+36a+ a+6a= a（a+12a+36）+ a（a+6）= a（a+6）+ a（a+6）= a（a+6）[a（a+6）+1]，然后把a=-3代入原式， 原式=（-3）（+3）[（-3）（+3）+1]=5×6=30. 注释： 本题解答关键是在于将其中的一项拆开为两项，即联系了已知和未知，从 而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式. 二、换元法 换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变 换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂 问题简单化，问题变得容易处理. 换元法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者 把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为 低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问 题中有广泛的应用. 换元的主要方法有：局部换元、三角换元、均值换元等. 例 2 设实数 x、y 满足 x 2 + 2 xy ? 1 = 0 ，则 x + y 的取值范围是___________. 分析 本题如果直接求解或是采用配方法，难度较大.所以我们考虑将该题转化. 解 设 x + y = k ，则 x 2 ? 2kx + 1 = 0 , ? = 4k 2 ? 4 ≥ 0 ,所以 k ≥ 1 或 k ≤ ?1 . 注释 数学方法的灵活运用也是作为数学素质训练的一个重要方面. 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数， 也就是利用了多项式 f ( x) ≡ g ( x) 数的方法叫待定系数法 .其理论依据是多项式恒等，充要条件是：对于一个任意 a 值，都有 f (a ) ≡ g (a ) ；或者两个多项式各