再谈高考中三角函数.doc

PAGE5 / NUMPAGES8 高考中的三角函数 岚皋中学 王光春 三角函数作为基本初等函数，它是周期函数模型的典范，这部分内容概念、公式较多，知识点琐碎繁杂，需要强化记忆，要把握三角函数图象的几何特征，灵活应用其性质．从近四年的高考题可以看出，每年对三角函数的考查主要有两种形式：一是以小题形式考查概念、性质和公式的应用，一般考查2道小题，二是以解答题的形式考查三角函数的性质以及平面向量与三角形的综合题，每年必考一大题，难度一般为中档，这部分题是高考中容易得分的内容。 预计2014年对该部分内容的考查形式不会有大的改变，解答题仍可能以向量为载体，考查三角函数性质以及三角变换为主，其热点是恒等变换与解三角形，特别是三角形中的三角函数问题要充分重视，因此对该部分的复习备考应注意基础性、应用性和工具性．淡化技巧，注重通法。下面就三角函数综合问题常见题型作一小结. 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】已知，为的最小正周期，，求的值． 【解答】因为为的最小正周期，故．因为， 又，故． 由于，所以 ． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。 　　题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题  　　【例2】 如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。 【解答】（ = 1 \* ROMAN I）因为函数图像过点， 所以即 因为，所以. （ = 2 \* ROMAN II）由函数及其图像，得 所以从而 ，故. 【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例3】在中，角的对边分别为，． （1）求； （2）若，且，求． 【解答】（1），, 又，解得：， ，是锐角，． （2），，， 又，，， ，． 【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。 题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例4】，其中向量，，，且函数的图象经过点． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。 【解答】（Ⅰ） 由已知，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∴当时，的最小值为， 由，得值的集合为． 【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。 题型五：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例5】设向量，函数. （Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式成立的的取值集. 【解答】（Ⅰ）∵ ∴的最大值为，最小正周期是 （Ⅱ）要使成立，当且仅当， 即, 即成立的的取值集合是． 【评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角公式对函数的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。 题型六：函数y=Asin（ωx+φ）+b中参数的确定 【例6】已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: 经过长期观察,y=f(x)的曲线可近似地看成是函数 t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/ 米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 （1）根据以上数据,求函数的最小正周期T,振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 解答:（1）由题可得2T=24，，解得， ， （2）由，得， ∴解得12k-3＜t＜12k+3，k∈Z，而8＜t＜20，取k=1，得9＜t＜15，∴可供冲浪者进行运动的时间为上午9：00时至下午15：00，共6小时． 【评析】本题主要考查了根据函数的图象特征确定函数y=Asin（ωx+φ）+b的解析式的问题．常利用函数的最大值和最小值，周期，f（0）等特殊值来求解解析式中的参数的值．． 强化练习： 1.设ω0，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位后与原