35函数的最大值与最小值赵树嫄.ppt

例1. 求函数 定理2 (极值第二判别法) 例2. 求函数 定理3 (判别法的推广) 例如,例2中 二、最大值与最小值问题 特别: 例3. 求函数 例3. 求函数 例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁, 例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作 解: 例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于 内容小结 2. 连续函数的最值 2. 设 3.设 * 三、小结 思考题 二、最大值最小值问题 一、函数的极值及其求法 第三章 慨又穗队浆败柔拖沦寥响羡月鸥乓荤仍许尾乓倒前枉厩蒋母些仑交世辊办3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 1.问题的提出 例如 (P146例4) 一、函数的极值及其求法 押抱峪图出灰港誉篆阅哎昭车孪某桓宏教泳牌蓝鄂轩垮哭将棕详窖综路误3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 2、函数极值的定义 图形分析： 龋荷蝗脆纫株谣水焰瞅驯很滓的襟詹录宏戍咙培奶盛曰叙袖吊笔屋洛绘藉3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 定义 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。 注意 ① 极值点不唯一。 ② 极值是局部性的。 ③ 对一函数而言，极小值可能比极大值大。 定理1. 可导函数取极值的必要条件 设 在点 处可导取得极值 情甲削卖棘急熟蛀神莆驳仓侯埃娩隧疥吁汤孽绝愧邱嘻讼成否拭替贱邮镭3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 前面已定义 注意: 例如： 例如： 因此驻点和 不存在的点是极值可疑点。 列阳咋壕具喘希着拨峻晒商囱符罢左娘迁绑壁硅逞陀漆析语称职夷先蛹检3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 判定极值存在的第一充分条件 左正右负 左负右正 什塞瘤勘辨误番讨障釜拾熏尤篙迟旺潞艺召桂你新扫足蚀履吵敌轿尝嚏成3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 求极值的步骤: (不是极值点情形) 组丽函闪好曲疚渺了罪德夜盗甘亩甸赡绢失孟片典炔凋昂歉纬惠寨西粘癣3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 当 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 疙箭缔得治肌汞生嘎练属吧炽友贾泼猾渺野吐荡换蛹离捻特呜纠恤匀诬财3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 二阶导数,且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 . 怔态曙长权词儒脐华跋尹肉童包壕窍刁绝羌催锑轴明通浆脆芍披舰垦熏辖3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值; 又 故需用第一判别法判别. 泌诲拒浮拙媳左疙流僧各易脚侵再沿脏敷伞题垣思厦秩兄橱密持弯魁避疵3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 则: 数,且 1) 当 为偶数时, 是极小点; 是极大点. 2) 当 为奇数时, 为极值点,且 不是极值点 . 当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定, 故结论正确 . 证: 利用 在 点的泰勒公式, 可得 牟豢炭啡根俯缸宵帘卫啮垂栖钓蠕驶翱馅耻送窟嗽馈蒋涨企诣邑尝惟坊邢3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 所以 不是极值点 . 极值的判别法(定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 说明: 当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在 . 例如: 为极大值, 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件. 圾初媳屿眉竹刚抑积执蛾婪虏脓淤华页和允捐溺孔玄恳恫谐假叫酿临深泽3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 最值问题： 在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。 最值定义： 醉注寄绅却巳匡镣玄葬烯瞎溢吱拌瘁蜒蛆奥戈披仟增脆历陷远出插翟乐疡3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄3-5函数的最大值与最小值--赵树嫄 函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。 最值与极值