34函数的单调性与凹凸性赵树嫄.ppt

问题的提出 若 在区间（a,b)上单调增加 若 在区间（a,b)上单调减少 一、 函数单调性的判定法 * 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证:无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 * 例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 * 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, * 单调区间求法 ⑴ 问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调。 ⑵ 定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间。 ⑶ 分界点：导数等于零的点(驻点) 和不可导点， 可能是单调区间的分界点。 ⑷ 单调区间求法: * 例2. 证明 时,成立不等式 证:令 从而 因此 且 后面证 * * 证明 令 则 从而 即 * * 另例 证 * 二、曲线的凹凸与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位于所张弦的上方 图形上任意弧段位于所张弦的下方 A B M N * 定义.设函数 在区间 I 上连续, (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的. * 曲线凹凸的判定 图形分析 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 设函数 在区间I 上有二阶导数 * 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 证毕 * 例3. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, * 例4. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 * 例5. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸, 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 * 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2. 曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 * 思考与练习 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示:利用 单调增加, 及 B 1. 设在 * 使用时，直接删除本页！ 精品课件，你值得拥有！ 精品课件，你值得拥有！ * 使用时，直接删除本页！ 精品课件，你值得拥有！ 精品课件，你值得拥有！ * 使用时，直接删除本页！ 精品课件，你值得拥有！ 精品课件，你值得拥有！ * . 2. 曲线 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 作业 P151 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; ; 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 * 运行时, 点击按钮“证” 或“证明”, 可显示该不等式的证明过程, 证毕自动返回. 运行时, 点击按钮“证” 或“证明”, 可显示该不等式的证明过程, 证毕自动返回.