复变函数与积分变换修订版复旦大学课后的习题答案 .doc

复变函数与积分变换 （修订版） 主编：马柏林 （复旦大学出版社） ——课后习题答案  习题一 1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数 . ①解 ②解： ③解： ④解： 2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy) R); ： ∵设z=x+iy 则 ∴, ． ②解： 设z=x+iy ∵ ∴, ． ③解： ∵ ∴, ． ④解： ∵ ∴, ． ⑤解： ∵． ∴当时，，； 当时，，． 3.求下列复数的模和共轭复数 ①解：． ②解： ③解：． ④解： 4、证明：当且仅当时，z才是实数． 证明：若，设， 则有　，从而有，即y=0 ∴z=x为实数． 若z=x，x∈?，则． ∴． 命题成立． 5、设z,w∈?，证明： 证明∵ ∴． 6、设z,w∈?，证明下列不等式． 并给出最后一个等式的几何解释． 证明：在上面第五题的证明已经证明了． 下面证． ∵ ．从而得证． ∴ 几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 ①解： 其中． ②解：其中． ③解： ④解：. ∴ ⑤解： 解：∵． ∴ 8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根. ⑴i的三次根． 解： ∴．　 ⑵-1的三次根 解： ∴ ⑶的平方根． 解： ∴ ∴ ． 9.设. 证明： 证明：∵　∴，即． ∴ 又∵n≥2． ∴z≠1 从而 11.设是圆周令 , 其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件. 解：如图所示． 因为={z: =0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90° 故α-β=90° 所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°． 12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图. 解： (1)、argz=π．表示负实轴． (2)、|z-1|=|z|．表示直线z=． (3)、1|z+i|2 解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。 （4）、Re(z)Imz． 解：表示直线y=x的右下半平面 5、Imz1，且|z|2． 解：表示圆盘内的一弓形域。 习题二 1. 求映射下圆周的像. 解：设则 因为,所以 所以 , 所以即，表示椭圆. 2. 在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或. （1）； （2）; (3) x=a, y=b.(a, b为实数) 解：设 所以 (1) 记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即 (2) 记，则映成了w平面上扇形域，即 (3) 记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了 即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示. 3. 求下列极限. (1) ; 解：令,则. 于是. (2) ; 解：设z=x+yi，则有 显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） ； 解：=. （4） . 解：因为 所以. 4. 讨论下列函数的连续性： (1) 解：因为, 若令y=kx,则, 因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在. 从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2) 解：因为, 所以 所以f(z)在整个z平面连续. 5. 下列函数在何处求导？并求其导数. (1) (n为正整数)； 解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导. . (2) . 解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导. 从而f(z)除外可导. (3) . 解：f(z)除外处处可导，且. (4) . 解：因为 .所以f(z)除z=0外处处可导，且. 6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) ; 解：在全平面上可微. 所以要使得 ， , 只有当z=0时, 从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (2) . 解：在全平面上可微. 只有当z=0时,即(0,0)处有,. 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (3) ; 解：在全平面上可微. 所以只有当时，才满足C-R方程. 从而f(z)在处可导，在全平面不解析. (4) . 解：设，则 所以只有当z=0时才满足C-R方程. 从而f(z)在z=0处可导，处处不解析. 7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) ; 证明：因为，所以,. 所以u,v为常数，于是f(z)为常数. (2