导数的技术应用习题课.pptVIP

* 导数的应用习题课 一、知识点 1．导数应用的知识网络结构图： 2．基本思想与基本方法： ①数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调 性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极 值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践 的辩证关系，具有较大的实践意义。 ②求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤： i）求f′(x)； ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）； iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。 ③证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性： i）求f′(x)； ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）； iii）确认f′(x)在(a，b)内的符号； iv）作出判断。 ④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤： i）求导数f′(x)； ii）求方程f′(x)=0的全部实根； iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。 ⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： i）求f（x）在（a，b）内的极值； ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确 定f（x）的最大值与最小值。 ⑥在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定 最值，不必再与端点的函数值作比较。 二、例题选讲 例1:讨论函数 的单调性. 解:函数的定义域为 当x0或x1时, 故当x0时, ;当x1时, 当0x1时, 故当0x1/2时, ;当1/2x1时, 因此,函数在(-∞,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2) 和(1,+∞)上是减函数. 例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2), 且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值 范围. 解:(1) 由题意得: (2) ,解得x0或x-2. 故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞). 即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0. 练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小 值为2. (1)试确定常数a、b的值; (2)求函数的单调递增区间. 答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞). 例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小 ?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的 切线垂直的直线). 解:在已知曲线上任取一点(x, x6/3),则过该点的切线的 斜率为 ,从而法线的斜率为 故法线方程为 令X=0,得法线在y轴上的截距: 则 令 ,得 当x-1时, ,则Y单调减小;当-1x0时, ,则Y单调增加;当0x1时, ,则Y单调减小;当x1时, ,则Y单调增加. 故当 时,Y有最小值5/6,此时点 为所求. 练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)c2恒成立,求c的取 值范围. 答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)maxc2,解得c-1或c2. 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域. 答:由已知得 可求得c=0,b=-3,从而f(x