导数的单调性（医学资料）.pptVIP

* * 教学目标 1.知识目标:掌握用导数的符号判别函数增减性的方法,提高对导数与微分的学习意义的认识. 2.能力目标：训练解题方法，培养解题能力。 3.德育目标：能用普遍联系的观点看待事物，抓住引起事物变化的主要因素。 4.美育目标：数学方法的广泛应用之美，数学内容的统一性。 重点：利用导数的符号确定函数的单调区间。 难点：利用导数的符号确定函数的单调区间. 单调性的概念 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数（或单调递增函数） 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有 f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减函数） 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。 情境设置 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下，比较f(x1)与f(x2) 的大小，或者通过作图,借助图形的直观得到函数的单调区间. 对于给定区间上的函数f(x): o y x y o x 1 o y x 1 在（－ ∞ ，0）和 （0, ＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。 在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。 在(－ ∞,＋∞)上是增函数 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间 1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？ 知识探究 2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 (锐角/钝角)?其斜率有什么特征？ 3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？ 4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。 o x 1 y o x 1 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-2x-1的图象可以看到:在区间(1,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即y’0时,函数在区间(1,+∞)内为增函数;反之,在区间(- ∞,1)上,y’0,函数递减. 定理： 一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导： 如果恒有 ，则 是增函数。 如果恒有 ，则 是减函数。 如果恒有 ，则 是常数。 注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当f(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f(x)=0的点只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上，若在某区间上有有限个点使f(x)=0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似) 例如: 函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时, f(x)=0, 当x≠0时, f(x)=3x20, y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单. 知识提炼 例1.确定函数 在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？ 2 x y o 解: (1)求函数的定义域,函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞) （2）求函数的导数 （3）令 在定义域内解不等式，求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。 令2x－40,解得x2∴x∈(2,＋∞)时， 是增函数 令2x－40,解得x2∴x∈(-∞,2)时， 是减函数 练习 利用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）求函数f(x)的定义域 （2）求函数的导数f(x) （3）令f’(x)0以及f’(x)0,在其定义域内解不等式求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。 [练一练]:确定函数 ，在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数? x y o 解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞) 令6x2－12x0,解得x2或x0 ∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数 令6x2－12x0,解得,0x2 ∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。 首页 补充例题 知识点提炼: 如果恒有 ，则 f(x)是常数。 如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 ，则 f(x)是减函数. [定理]一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导： f’(x)0 f’(x)0 f’(x)＝0 求函数单调区间的步骤： （1）求函数的定义域 （2