高数定积分与NL公式-课件.ppt

§1.6 定积分 教学要求 掌握定积分的概念,性质及定积分与不定积分的关系，会用N-L公式计算定积分; 较熟练地运用换元法与分部积分公式计算定积分. 小学数学中的定积分的思想 一、问题的提出 二、定积分的定义 (5) 存在定理 四、定积分的几何意义 由定积分的定义可知 五、小结 §1.6.2 定积分的基本性质 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 例1.6.3 求 要去掉绝对值符号！因此要利用定积分的区间可加性： 四、小结 作业 P98 1.6.1 (3) (5) (9) (10) 1.6.3 1.6.7 (3) 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 定理 3（微积分基本定理） 证 令 令 牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 　　这公式左为积分，右求增量为微分，两种运算从概念及背景完全不同，现在联系到了一起，故公式具有“基本”的重要性，称之为微积分基本定理。 例1.6.1 求 原式 例1.6.2 设 , 求 . 解 解 3.微积分基本公式 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 思考题 将和式极限： 表示成定积分. 思考题解答 原式 练 习 题 练习题答案 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * * §1.6.1 a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，取该小段上某一点的速度为该f (ξi)小段的速度，求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 黎曼和(积分和) 注意： 定理1 定理2 教材只给出了定理 1 的结论. 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 几何意义： 例 利用定义计算定积分 解 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 后两条是定积分的线性运算性质 这些性质重要而简单，在此不证． 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质７ 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 定积分中值定理 积分中值公式 积分中值公式的几何解释： §1.6.3 微积分基本定理 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 猜测： 　　　　　　上的定积分等于被积函数的原函数在区间上的数值差（或者说改变量）． 这个判断是正确的，今后我们计算定积分就是应用公式来做的： 这个公式是微积分基本定理的结论．称其为微积分基本定理是因为它揭示了（导）函数f (x)与其原函数之间的关系，把求定积分的问题转化为求原函数，也就是求不定积分的问题．下面我们简单介绍一下公式的根据． 考察定积分 记 积分上限函数 　　如果从定积分的几何意义来看，积分上限函数就是变面积函数．