传染病模型与其定性研究.doc

传染病模型及其定性研究 摘要 本文依据通常的传播机理建立了传染病的基本模型以及推广到更复杂的模型.并运用微分方程进行了研究分析，得到的结果对控制传染病的流行、根除传染病的方法等都具有重要的惫义。我们运用了传染病模型来处理问题，主要有SI模型SIS模型SIR模型和MATLAB软件来进行解决问题和研究的。 对于SI模型：（1）当时，达到最大值，则此时病人增速最快。（2）当时，，即所有的人被传染，全部变为病人，这显然是不符合实际的，其原因是没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，而病人不会变为健康者。 对于SIS模型：（1）时，病人比例越来越少， 最终趋于零，这是因为传染期内经有效接触从而使健康者变为病人数不超过原来病人数的缘故。（2）时，病人比例增减性是由来决定，其极限值随着的增加而增加。 对于SIR模型：1）不论初始条件，如何，病人比例越来越少，最终消失。（2）最终未被感染的健康者的比例是，在中。令时，的单根即为：最终未被感染的健康者的比例。在图像上：相轨线与轴在内交点的横坐标。（3）当时传染病不会蔓延。所以提高医疗卫生水平，从而使变大，也可降低，则，，即使免疫者比例增大。这其实是比较困难的。如，。 关键词：传染病 SI模型 SIS模型 SIR模型 MATLAB软件 一 问题重述 现代医学科学的发展已经能够有效地预防和控制诸如天花、麻风、麻疹等许多的传染病。但是，仍然有象流感、肝炎、痢疾等传染病暴发或流行的报道，这些病的流行严重地影响着人类的生存质量和工作效率。而一种更为险恶的传染痢—爱滋痢则正跨越国界在世界范围内蔓延开来，对人类造成了极大的危害。因此，人们越来越重视对传染痢的传播过程、预 防和控制的研究。 传染病传播过程的研究与其它学科有很大不同，不可能通过在人群中作实验的方式获得数据，有关传染痢的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告和记录中获取，而这些数据往往是不够全面和充分的，很难以很据这些数据准确地确定某些参数和进行预报工作。试建立传染病的数学模型，并对传染病的预防、控制及传播规律提出建议和预测。 二 符号说明 总人数； 为某一时刻； 易感者（占总人数比例）； 已感染者（占总人数比例）； , 分别是在时，健康者和病人所占人数的比例； 每个病人每天有效接触的平均人数； 病人每天被治愈的占病人总数的比例； 三 模型的建立与求解 1 模型1：SI模型 根据前而的分析和假设，可知在t时刻，总人数中有个病人，而每个病人每天接触的几个人中有个健康者通过与病人的有效接触成为病人。这样，每天共有个健康者被感染感染，于是就是病人数的增长率。即: （1） 化简的： （2） 又+=1，所以（2）可以写成： （3） 这就是我们建立的模型，它是一个一阶的具有初值条件的微分方程，一般称为模型。容易求出它的解为: (4) 和的图形如下所示： 图1 图2 所谓传染的高峰期，即病人总数增加最快的时刻，亦即达到最大值的时刻。由(3)可知，当时，最大。将代入（4）可得： 解除为： 显然就是预示着传染病高峰的到来，医疗、卫生部门应在这时期做好药品和床位等准备工作。 由的表达式可知，它与又成反比，即又越小越大。注意到日接触率是该地区卫生水平的综合体现，因此，改善医疗保健设施、提高卫生水平和人们的防病觉悟可以推迟传染病传染高峰的到来。 由(4)很容易得到: 这表明随着时间的推移，病人的比例将