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初 等 模 型 (III) 4. 双层玻璃窗的功效 Discussions 5. 录像机计数器的用途 Discussions 6. 启帆远航 Discussions 7. 核军备竞赛 Discussions 8. 实物交换 Discussions 9. π的计算 Discussions 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 乙方威慑值 y0变大 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移 模型解释 平衡点P?P′ 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变 甲方残存率变大 威慑值x 0和交换比不变 x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) 模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少 P?P′ 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标 (x , y仍为双方核导弹的数量) 双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加 y0减小 ? y下移且变平 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) a 变大 ? y增加且变陡 双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析 模型解释 乙安全线 y=f(x) 问题 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 y x p . 用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo ? ? x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的， M N 将所有与p1, p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 p1 . p2 . c1? y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小) 下凸(凸向原点) 互不相交 在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的? y换取较少的? x; 在p2点占有y少、x多，就要以较多的? x换取较少的? y。 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 （f ~等满意度曲线） x y O g(x,y)=c2 c2? 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同） 双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O‘ x’ y’ g=c2 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系x’O’y’, 且反向） 甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P’ 双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上 因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p 两族曲线切点连线记作AB A B p 交换方案的进一步确定 交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形内任一点 交换路径AB 双方的无差别曲线族 等价交换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为 C D (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD AB与CD的交点p 设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x ? 圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（约3.1605）作为π的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求π的努力。 * * 2d 墙 室内 T1 室外 T2 d d 墙 l 室内 T1 室外 T2 问题 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失 假设 热量传播只有传导，没有对流 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 材料均匀，热传导系数为常数 建模 热传导定律 Q1 Q2 Q ~单位时间单位面积传导的热量 ?T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 d d 墙 l 室内 T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数 建模 记单层玻璃窗传