函数的连续性-长江师范学院课程建设网.DOC

《数学分析》重点课程教案 第四章 函数的连续性 长江师范学院数学系 PAGE PAGE 30 第四章　函数的连续性（14学时） 教学目的：掌握函数连续性的概念及连续函数的性质，熟练掌握间断点的分类。理解一致连续性概念。 教学重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，函数在区间上一致连续的概念，闭区间上连续函数的最值性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。 教学难点：间断点的分类、一致连续性概念与运用。 教学内容：在一点函数的连续性；单侧连续性；间断点及其分类；在区间上连续的函数；连续函数的局部性质——有界性、保号性；连续函数的有理运算；复合函数的连续性；一致连续性定义；闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性、初等函数连续性。 §1　连续性概念 教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念. 教学要求： 1、使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义,并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述； 2、应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发,理解函数在一点间断以及函数间断点的概念,从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点； 3、明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的,使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵. 教学过程： 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲,是不难理解的.如图： 　 从图中可看出,⑵、⑶、⑷在点出现了间断,⑴是一条连在一起的、连续不断的曲线；⑵存在但不等于；⑶点无定义；⑷不存在.图形只能帮助我们理解概念,下面给出连续的严格定义. 一、函数在一点的连续性 (一) 函数在点连续的定义 定义1（在点连续） 设函数在某内有定义,若,则称在点连续. 注　,即“在点连续”意味着“极限运算与对应法则　可交换. (二) 例子 例1 在处连续. 例2 . 例3 讨论函数在点x=0处连续性. (三) 函数在点连续的等价定义 1、记号：——自变量在点的增量或改变量.设,——函数在点的增量. 注 自变量的增量或函数的增量可正、可负、也可为零.（区别于“增加”）. 价定义1：函数在点连续. 价定义2：函数在点连续,当时,. 注 一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式.如用三种定义,可以证明以下命题： 例4 证明函数在点连续,其中为Dirichlet函数. (四) 函数在点有极限与函数在点连续之间的关系 对邻域的要求看：在讨论极限时,假定在内不定义（在点可以没有定义）.而在点连续则要求在某内有定义（包括）. 极限中,要求,而当“在点连续”时,由于x=时,恒成立.所以换为：. 从对极限的要求看：“在点连续”不仅要求“在点有极限”,而且；而在讨论时,不要求它等于,甚至于可以不存在. 总的来讲,函数在点连续的要求是：①在点有定义；②存在；③. 任何一条不满足,在点就不连续.同时,由定义可知,函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质. (五) 在点左（右）连续定义 1、定义 定义2：设函数在点（内有定义）,若（）,则称在点右（左）连续. 2、在点连续的等价刻划 定理4.1　函数在点连续在点既是右连续,又是左连续. 如上例4：（右连续）,（左连续）. 例5 讨论函数在点的连续性. 例6 设 , 其中、为常数.问：⑴ 、为何值时,存在? ⑵ 、为何值时,在点连续? 解 ,,故⑴ ,为任意常数时,存在；⑵ 欲使在点连续,应有 二、区间上的连续函数 (一) 定义 若函数在区间Ｉ上每一点都连续,则称为Ｉ上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.若函数在区间上仅有有限个第一类间断点,则称在上分段连续. (二) 例子 1、函数是Ｒ上的连续函数； 2、函数在内每一点都连续.在处为左连续,在处为右连续,因而它在上连续. 命题 初等函数在其定义区间上为连续函数. 函数,在上是分段连续的在Ｒ上是分段连续吗?　在Ｒ上是分段连续吗? 三、间断点及其分类 (一) 不连续点（间断点）定义 　　定义3　设函数在某内有定义,若在点无定义,或在点有定义而不2,不则称点为函数的间断点或不连续点. 注　这个定义不好；还不如说：设在内不定义,如果在不连续,则称是的不连续点（或间断点）.由上述分析可见,若为函数的间断点,则必出现下列情形之一：①在点无定义；②不存在；③.据此,对函数的间断点作如下分类： (二) 间断点分类 1、去间断点　若,而在点无定义,或有定义但,则称为的可去间断点. 例如：是函数的可去间断点. “可去间断