华罗庚的优选法0618法.PPT

目录 第四讲 数学美的科学性 主讲教师：孙淑娥 目录 一、华罗庚的优选法 二、 最优化数学 三、数学与数学教育 二十世纪六十年代， 华罗庚创造并证明了 优选法，还用很大的 精力去推广优选法。 “优选法”，即对某 类单因素问题，用最少的试验次数找到“最佳点”的方法。 一、华罗庚的优选法 “0.618法”” 例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间，现求最佳加入量，误差不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入100克，1002克，…，1000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。 三、数学与数学教育 一种动脑筋的办法是二分法，取1000克2000克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250克与1750克，分别做两次试验。如果1750克处效果较差，就删去1750克到2000克的一段，如果1250克处效果较差，就删去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种“二分法”会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。 一、华罗庚的优选法 二分法” 表面上看来，似乎这就是最好的方法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验方法并不是最好的方法；每次取试验区间的0.618处去做试验的方法，才是最好的，称之为“优选法”或“0.618法”。 华罗庚证明了，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案。 即： 如果是 的黄金分割点， 是 的 黄金分割点， 与 当然关于中点 对称。 特殊的是， 又恰是 的黄金分割点。同样， 如果 是 的黄金分割点，则 又恰是 的黄金分割点，等等，一直延续下去 。再生... 黄金分割点的再生性和“折纸法” 根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法——“折纸法”。 仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。用一个有刻度的纸条表达1000克—2000克。在这纸条长度的0.618的地方划一条线，在这条线所指示的刻度上做一次试验，也就是按1618克做第一次试验。 然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在1382克处，再按1382克做第二次试验。 寻找最优方案的“折纸法” 把两次试验结果比较，如果1618克的效果较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪去（如果1382克的效果较差，就把1382克以外的一段纸条剪去）。再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在 1236克处。 按1236克做第三次试验，再和1382克的试验效果比较，如果1236克的效果较差，我们就把1236克以外的短的一段纸条剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试验点是1472克。 按1472克做试验后，与1382克的效果比较，再剪去效果较差点以外的短的一段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次比一次接近我们的需要，直到达到我们满意的精确度。 注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的0.618倍。因此，纸条的长度按0.618的k次方倍逐次减小，以指数函数的速度迅速趋于0。所以，“0.618法”可以较快地找到满意的点。 事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为“满意”的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。 0.618这个“黄金比”能产生“优选法”，这告诉我们，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。 三、数学与数学教育 生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发展成一门“最优化数学”，包括规化论（线性规划、非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最优化等等。 二、最优化数学 推广” 用导数的方法求极值是用连续的手段处理最优化问题，优选法“0.618法”则是用离散的手段处理最优化问题。 应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应用到实践中去的一条经常的重要的途径。 我们以后将要做的“找次品”趣题，也是要最大限度地发挥天平的作用，用最