第十八章 隐函数存在定理.doc

PAGE PAGE 1 数学分析教案：多元函数微分学--隐函数及应用 第十八章 隐函数存在定理 §1 隐函数存在定理 引例：。考虑的点，不能显化，是使的点。 定理1 （一元隐函数存在定理）若满足1）； 2）内连续且连续偏导； 3），则有 i) 在附近由唯一确定隐函数满足，； ii) 在连续； iii) 在连续导数，且。 证明 设 1）存在性 由连续函数保号性，在上，在固定的，在（严格），又，从而 ，由连续，，在 上；在上。 对，是在上连续函数，则 ，由零点定理，，使得，由知唯一，从而有满足，； 2）连续性 设，对，由知，，则由前面讨论可知，时相应的隐函数满足，即，连续。 3）可导性 ，，，，则成立，。 =，又上，则有 ，令，则 注：在局部确定隐函数 定理2若满足1）； 2）内连续且连续偏导； 3），则有 i) 在附近由唯一确定隐函数满足，； ii) 在连续； iii) 连续导数，且 注 ，， 例1 设，求 解 对求偏导数， 例2 设，求 解 例3 设，求 解 = 定理3 （多元隐函数存在定理）若满足 1）； 2）连续，连续偏导； 3）点Jacobi行列式，则有 i) 在附近由唯一确定隐函数；ii)在连续； iii)在连续导数，且。 例4 设函数方程组，求 解 例5 在直角坐标系中具有二阶连偏，，作变换，，导出关于的偏导数所满足的方程。 解 由于也是的函数。由于 ， 代入 就得到。 例5 设，在上具有连续导数。如果在处，则，具有连续导数的逆映射 ，，满足1） 2），，，。 证明 ，在处，由隐函数定理，在附近存在向量值函数，满足 I）；II），且在上有连续偏导，即在上为的逆映射。 在II）中对求偏导得，，解之即得。 §2偏导在几何中的应用 一 空间曲线的切线和法平面 1.光滑曲线：空间曲线，向量形式： 若在上连续，且，，则称光滑曲线。 ，，则过的割线的方程为 ， 令得切线方程，是切向量。 法平面方程。 2．曲线方程，则处切线方程， 法平面。 3．曲线方程，，满秩 。 设在点，由隐函数存在定理，在点附近确定了 的隐函数，，且有 ，， 于是切线方程为， 法平面为。 例1 一质点一方面按逆时针方向以等角速度绕轴转，另一方面又沿轴正向以匀速上升，已知质点在时刻在点处求1）运动轨迹2）在时刻速度。 3）时在时对应点的切线和法平面。 解 1）； ；；螺旋线 2），则。 3），的方程，时.，。 ，所以切线方程，法平面。 例2 在点处的切线和法平面方程。 法一 ，， 则，，，于是 切线方程，法平面。 法二 ， 于是，所以切向量， 切线方程，法平面方程。 二 空间曲面的切平面和法线 1.设曲面，，考虑过的任意曲线，并设。由于曲线在上，有。两边对求导：，即曲线上的任一条曲线在点的切向量都与向量垂直，所以这些切向量都在过点的平面上，称为在点的切平面。为法向量。 切平面方程。 法线方程。 若曲面具有连续变动的切平面，即连续，称为光滑平面。 2. 若曲面方程为，即，曲面在点的切平面方程为 法线方程为 注：因，与切平面比较知，若在可微，则在附近曲面可用切平面代替。 3. 曲面用参数方程表示：，在上满秩 。假设， 由隐函数定理，在内唯一确定，代入有 ，且，，，，由此得到 ， 切平面方程为， 法线方程 例3 求曲面在点处的切平面与法线方程。 解 。由于， 切平面，法向量 例4 求曲面在所对应点处的切平面和法线方程。 解 ，，，，，，于是在处，，。 而处， 切平面，法线。 例5 证明球面和相互正交。 解 两条曲线的交角指在交点处切向量的交角；两张曲面在交线上的夹角是法向量的交角，任一点上交角为直角，则称曲面正交。 处， §3 无条件极值 定义1 设为开区域，是上的函数，，若，，，则称为的极大值点（极小值点）；为相应的极大值（极小值）。 定理 1 若为极值点，在可偏导，则（驻点）。 反之不然：马鞍面 定理2 设为驻点，在附近具有二阶连续偏导数，记， 若时有极值：极小值，极大值。 若时无极值； 3） 若无法确定。 证明：由Taylor公式， ，由二阶偏导连续，因此 则有 ，其中。 由，问题转为二次型在单位圆 上是否保号。 若二次型是正定的，那么在上的最小值满足。因此当且充分小时 =，即为极小值，同理可证极大值。 若这个二次型是不定的，则既非极大值也非极小值。 反证法：若是极大值，取适当小，任何过的直线段，，，函数在也取极大值，则有，但 因此 =，说明二次型在上的总小于或等于零，与假设矛盾。 例1 求的极值。 解 驻点为：，极大值，时为极小值。其余皆不是极值点。 例2 讨论的极值 解 驻点，，无法用定理判断。 注意到，，在曲线上，在曲线